三角函数线
金华一中 张卫东 内容和内容解析：
学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,但这是在“数”的角度上认识三角函数的，我们还可以从“形”的角度去考察任意角的三角函数, 即用有向线段表示三角函数值，这也是三角函数与其它基本初等函数不同的地方。
本节课所学习的三角函数线是正弦线、余弦线、正切线，它们分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示，它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段。
用有向线段表示三角函数值,可实现数与形的完美结合,我们将利用数形结合的思想方法巧妙求解三角方程和三角不等式，使得对三角函数的研究大为简化；在后继的学习中，我们将会用三角函数线“探究”同角三角函数的平方关系式，利用平移三角函数线的方法画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象。由此可见，学好三角函数线是学习三角函数图象的基石，它在本章的地位是极其重要的，它在培养学生数形结合（特别是“以形解数”）的能力上有着巨大的潜在作用。
因此，本节课的学习重点是：三角函数线的作法及其简单应用。 目标和目标解析：
1．使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
2．借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.
3．激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.
教学问题诊断分析：
1．取角α的终边与单位圆的交点P，过点P作x轴的垂线，设垂足为M，则有向线段MP=y=sinα，有向线段MP叫做角α的正弦线。当α的终边在第三或第
四象限时，部分同学会错误地用PM表示正弦线,其原因是,没有正确理解有向线段
MP的方向它会随着点P的纵坐标y的正、负变化而相应地发生正、负变化，不可随意改变有向线段MP的起点和终点。同样，角与终点的位置也不能改变.
2．对于正切tanα，若当
的终边在第一或第四象限时, 点A的坐标是(1,0),
=
，
的余弦线OM、正切线AT的起点
点T是α的终边与过点A作圆的切线的交点,则得到tanα
但是角α的终边在第二、三象限时，角的终边上没有横坐标为1的点，部分数同学此时可能会取x=-1的点T‘，tanα=T‘A‘,这样一来，就会造成有向线段的表示方法不能统一，此时要引导学生探究角α反向延长线上的点T，借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到tanα
=
,使正切线统一表示为AT.
综上所述，本节课的学习难点是：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来. 学习行为分析：
1．学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,以及诱导公式一,为三角函数线的学习做好了知识准备；前面学习指数、对数函数图象时,学生已学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画板应用能力，能够制作简单的动画，开展数学实验。
2．学习本课时，首先通过设置问题情境，让学生通过类比联想，主动探索三角函数值的几何形式，激发学生的学习兴趣；再让学生自己利用几何画板软件做出三角函数线，并改变角的终边位置,观察三角函数线的变化情况,培养学生自主探究的能力；在探究学习的过程中,注意及时纠错（诊断分析中已提到的问题）,引导学生正确做出三角函数线；然后借助三角函数线求解三角方程和不等式,充分发挥“以形解数”的巨大作用,进一步培养学生数形结合的能力；最后让学生利用几何画板合作探究，拓展思维，大胆猜想，建设一个开放的数学学习环境. 教学支持条件分析：
为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，应当采取以下支持条件，以帮助学生更好地发现数学规律。
1．使用多媒体教室，让学生自己利用几何画板软件探究数学规律，做数学实验。
2．采用科研式教学法，“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展” 3．教学中充分运用实验、观察，体验知识的形成过程；类比、联想，产生知识迁移；猜想、求证，达到知识的延展。 教学过程设计：
问 题 1.单位圆中弧的长度能表示所对圆心角弧度数的绝对值吗？ 2.能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？ 3.什么是有向线段? 学习相关概念,分散教学难点,使学生更多的围绕重点展开探索. 引导学生探究有向线段，（1）方向：按书写顺序，前者为起点，后者为终点，由起点指向终点。(2)数值：绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值;与坐标轴反向，取负值。然后教师举例说明。 学生回答问题④：角α的终边与单位圆交于点P（x,y），点P的纵坐标y叫做α的正弦. 学生回答问题⑤：在单位圆中，过点P作x轴的垂线，设垂足为M，则有向线段MP=y=sinα. 让学生通过类比联想，主动探索三角函数值的几何形式. 学生思考并回答问题①，然后教师点明:当r =1时，|α|=l，这样就实现了单位圆中弧的长度与所对圆心角弧度数的形数结合。而问题②正是我们今天一起要探究的问题. 设计意图 师生活动 4.(复习提问)任意角α的正弦如何定义? 由正弦的定义展开联想。 5.能否用几何图培养学生的观察、猜想能力，以形表示出角α的及数形结合的意识。 正弦呢? (学生分析的同时,教师用几何画板演示)然后请学生利用几何画板作出垂线段MP,并改变角的终边位置,观察终边在各个位置的情形,注意有向线段的方向和正弦值正负的对应.特别地,当角的终边在x轴上时,有向线段MP变成一个点,记数值为0. 教师总结：这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角α的正弦线。 6.用哪条有向线培养学生的观察、猜想、类比能段表示角α的余力，以及数形结合的意识。 弦比较合适?并说明理由. 类比正弦线的作法，教师引导学生用几何画板演示有向线段OM，并说明OM=x=cosα.如图所示，有向线段OM叫做角α的余弦线. 7. tanα培养学生的类比、观察、猜想的如何能力，以及整合的思维。 用有向线段表示？ 8.当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关系？ 教师引导：若令x=1, 则 tanα=y=AT，但是第二、三象限角的终边上没有横坐标为1的点，若此时取x=-1的点T‘，tanα= -=T‘A‘,有向线段的表示方法又不能统一。学生实验、观察，发现当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值相等，再引导学生借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到tanα=.然后学生利用几何画板演示验证，特别是当角的终边落在坐标轴上时，tanα与有向线段AT的对应. 这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角α的正切线.
三角函数线[001]正式版
