球的体积和表面积
【知识梳理】
1．球的体积
4
设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.
32．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．
【常考题型】
题型一、球的体积与表面积
【例1】 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．
[解] 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R， 14??3πr2·h＝πR3
3则由题意得?
??r＝2R
14
∴π(2R)2·h＝πR3，∴R＝h，r＝2h， 33∴l＝
r2＋h2＝ 5h，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h×5h＝25πh2，S球＝4πR2＝4πh2， S圆锥侧25πh25∴＝. 2＝4πh2S球【类题通法】
求球的体积与表面积的方法
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
【对点训练】
32π
1．球的体积是，则此球的表面积是( )
3A．12π
B．16π
16πC. 364πD. 3
432π
解析：选B 设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2.
33故球的表面积S表＝4πR2＝16π.
题型二、根据三视图计算球的体积与表面积
【例2】 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm2.
[解析] 由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆柱和一个半球的组合体，其中四1π
棱柱上表面与半球重合部分之外的面积为1×2－×π×12＝2－，四棱柱中不重合的表面积为
22ππ115
2－＋1×2×2＋2×2＋1×2＝12－，半圆柱中不重合的表面积为×2π×2＋π＝π，半球的222221
表面积为×4π＝2π，所以该几何体的表面积为4π＋12.
2
[答案] 4π＋12 【类题通法】
1．由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．
2．计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉． 【对点训练】
2．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为( )
A．18π C．33π
B．30π D．40π
解析：选C 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S＝2π×32＋π×3×5＝33π.
题型三、球的截面问题
【例3】 已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．
[解] 如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：
22222
r22＝R－x且πr2＝π(R－x)＝
8π，
22222r21＝R－(x＋1)且πr1＝π[R－(x＋1)]＝5π，
于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π， 即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1. 又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3. 球的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π. 【类题通法】
球的截面问题的解题技巧
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
【对点训练】
3．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面积与球的体积．
解：如图，设球心为O，球半径为R，作OO1垂直平面ABC于O1，
由于OA＝OB＝OC＝R， 则O1是△ABC的外心． 设M是AB的中点，
由于AC＝BC，则O1在CM上． 设O1M＝x，易知O1M⊥AB， 设O1A＝22＋x2，
O1C＝CM－O1M＝62－22－x. 又O1A＝O1C，∴22＋x2＝
62－22－x.
解得x＝724.则O921A＝O1B＝O1C＝4
.
在Rt△OOR
1A中，O1O＝2，∠OO1A＝90°，OA＝R.
由勾股定理得(R2)2＋(924)2
＝R2.
解得R＝36
2
.
故S球＝4πR2＝54π，V球＝4
3
πR3＝276π.
【练习反馈】
1．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3
D．1∶1
) 答案：A
2．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( ) A．8π C．12π
B．4π D．16π
解析：选C 正方体的体对角线长为23，即2R＝23， ∴R＝3，S＝4πR2＝12π.
3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍． 43
V地3π?2r?
解析：设火星半径为r，地球半径则为2r，＝＝8.
43
V火
πr3答案：8
4．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．
R
解析：由题意得圆M的半径r＝3，又球心到圆M的距离为，由勾2R
定理得R2＝r2＋()2，R＝2，则球的表面积为16π.
2
答案：16π
5．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积． 108π
(2)已知球的体积为，求它的表面积．
3
44
解：(1)∵直径为2，∴半径r＝1，∴表面积S球＝4πr2＝4π×12＝4π，体积V球＝πr3＝π×13
334
＝π. 3
4108
(2)∵V球＝πr3＝π，∴r3＝27，r＝3，∴S球＝4π×32＝36π.
33
你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。 （舞低杨柳楼心月 歌尽桃花扇底风）我不去想悠悠别后的相逢是否在梦中，我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁，你翩若惊鸿的身影，和那桃花扇底悄悄探出的半面妆容与盈盈水眸。用宁静的童心来看，这条路是这样的：它在两条竹篱笆之中。篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。 你必得一个人和日月星辰对话，和江河湖海晤谈，和每一棵树握手，和每一株草耳鬓厮磨，你才会顿悟宇宙之大、生命之微、时间之贵我一直以来都弄不明白，为什么不管做了多么明智合理的选择，在结果出来之前，谁都无法知道它的对错。到头来我们被允许做的，只是坚信那个选择，尽量不留下后悔而已。看不见的，是不是就等于不存在？记住的，是不是永远不会消失？每一个黄昏过后，大家焦虑地等待，却再也没有等到月亮升起。潮水慢慢平静下来，海洋凝固成一面漆黑的水镜，没有月亮的夜晚，世界变得清冷幽寂．但是，最深的黑夜即将过去，月亮出来了……记忆的冰川在岁月的侵蚀下，渐渐崩塌消融。保持着最初的晶莹的往事，已经越来越稀少。 灼灼其华，非我桃花。苍苍蒹葭，覆我其霜。芦荻不美，桃花艳妖。知我怜我，始觉爱呵。只要春天还在我就不会悲哀纵使黑夜吞噬了一切太阳还股
高中数学必修2立体几何常考题型：球的体积和表面积
