透视平面向量基本定理的应用
向量是研究数学问题的一种基本工具。其中在运用向量方法解决有关几何的问题时，给传统的几何内容注入了新的活力，为几何推理运算化开辟了新的途径，实现了几何的代数化。而且运用向量方法解题在知识的联系、转化和问题的解决中有着其他知识点难以企及的优势，是试题考查能力、渗透数学思想和方法的重要载体。
【知识回顾】
平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1,?2，使a??1e1??2e2。应用平面向量的基本定理的方法——“向量法”解题的一般步骤是：①选定基底；②进行向量间运算；③结合有关向量定理、推论对②中结果进行分析、对比，从而得到问题结论。
【应用举例】 一、作图方面：
例：已知向量a,b和实数?1,?2，求作向量c，使c??1a??2b。 二、计算方面：
例：△ABC中，AB?a，BC?b，G为△ABC的重心，求AG。
分析：∵a,b不共线，根据“定理”存在惟一的一对实数x,y，使AG?xa?yb。本题为解向量的线性组合问题。
解：设AD为BC边的中线，则AD?333AG?xa?yb。 222?3x?1,?211?2AG?a?b。 又AD?AB?BD?a?b， ∴?332?3y?1,?2?2三、解证几何问题方面：
几何问题中的一些平行和垂直问题以及三点共线和三线共点问题，可用向量方法来证明。
例1：已知a,b,c均不为零，(a?b)c?(b?c)a?0。求证：a||c。
证明：（反证法）若a与c不平行，则由(a?b)c?(b?c)a?0，得a?b?b?c?0。 又由“定理”可有b??1a??2c,(?1,?2?R)，
对上式两边分别与b作数量积得b??1(a?b)??2(c?b)?0, 则b?0,与题设矛盾，∴a||c。
2例2：已知O为原点，A，B，C为平面内三点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是OB??OA??OC，且?,??R,????1。
证明：“必要性”：∵A，B，C三点共线，∴存在??R使AB??BC， 即OB?OA??(OC?OB)，∴OB?1?OA?OC。 1??1??1?????1??根据“定理”（实数对的惟一性），有?，∴????1。
?????1???“充分性”：若OB??OA??OC，且????1，则
OB?(1??)OA??OC?OA??(OC?OA)， OB?OA??(OC?OA)，∴AB??AC，??R。
∴AB与AC共线，而A为AB与AC的公共端点， ∴A，B，C三点在一条直线上。 注：（1）“OB?1?OA?OC”称为有向线段 的定比分点向量公式。 1??1??（2）本题的结论可有更一般的形式：已知O为原点，A，B，C为平面内三点，则这三点在一条直线上的充要条件是存在实数h,k,l使hOA?kOB?lOC?0，且 B h?k?l?0,h,k,l中至少有一个不为0。
（3）本题结论应用面较广，是一个几何与向量沟 b c 通的模型。如右图△ABO中，若点C为中点，则有
C c?1(a?b)，这就是几何与向量沟通的一个特例。 O a A 2例4：如图，设G是△ABC内一点，延长AG,BG,CG分别交三边于点D，E，F。 且AF??FB,BD??DC,CE??EA。求证：????1。
本题为著名的古典命题“塞瓦定理”，运用平面向量基本定理证明则会比较简单。 证明：根据“定理”，存在实数ak,bk,ck，
A F G B D ?AG?a1AB?a2AC,?? 使?BG?b1BC?b2BA,?CG?c1CA?c2CB.??(1)(2) (3)E C 又AG?AB?BG?AB?b1(BA?AC)?b2BA， （4）
由（1），（4）得：(a2?b1)AC?(a1?b1?b2?1)AB?0， ∴a2?b1，同理b2?c1，c2?a1。 ∵AF??FB，由定比分点向量公式，
CF?1?CA?CB。 （5） 1??1??由（3）、（5）及CF与CG共线，并注意到CA，CB是基底向量，可得
??c2a1bc?，同理??1,??1。于是????1。 c1c1a1b1四、解证不等式的问题：
例1：已知二次函数f(x)?ax?bx?c满足f(0)?1,f(1)?1,f(?1)?1。求证：当x?1时，f(x)?25。 4分析：本题为非向量的问题，但将f(0),f(1),f(?1)看作一组基底即可解决此问题。
f(1)?f(?1)?a??f(0)?2?f(0)?c?f(1)?f(?1)??证明：由?f(1)?a?b?c，解得?b? 。
2?f(?1)?a?b?c???c?f(0)??所以f(x)?[f(1)?f(?1)f(1)?f(?1)?f(0)]x2?x?f(0)
22＝
121(x?x)f(1)?(x2?x)f(?1)?(1?x2)f(0) 22?11x(x?1)f(1)?x(x?1)f(?1)?1?x2f(0) （注意到x?1及题设） 2211155?x(x?1)?x(1?x)?(1?x2)＝x?1?x2＝?(x?)2??。 222442故原不等式得证。
例2：已知函数f(x)?ax?c且?4?f(1)??1?f(2)?5，试求f(3)的取值范围。 分析：此题为范围的确定问题，应用不等式的性质可以求得，但同样也可利用平面向量基本定理确定。若把f(1)?a?c,f(2)?4a?c作为一组基底，则可令
f(3)?9a?c?k1f(1)?k2f(2)?(k1?4k2)a?(k1?k2)c，比较a,c的系数即可求得k1,k2的值，最后就可求出?28?f(3)?15。 3总之，平面向量基本定理在各方面都有广泛地应用，只要我们能认真理解和领会此定理所蕴涵的基本数学思想方法和内容，就能切实运用好。并能充分体现出平透视平面向量基本定理的应用面向量知识的工具性、应用的广泛性、解题的艺术性，从而体会到数学的内在美。
透视平面向量基本定理的应用
