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2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，满分48分） 1.曲线?x?2y?a?x?y2?2． ??0为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（ ）
（A） a?0 （B）a?1 （C）a??1 （D）a?R
答案：（A） 解 若a?0，则曲线?x?2y?a?x?y2?2??0表示曲线是三条交于原点的直线．
反之，由于直线y?x和直线y??x交于原点，所以曲线要为平面上交于一点的直线，则直线x?2y?a?0过原点，即a?0.
xx??2.函数f?x??4sin3x?sinx?2?sin?cos?的最小正周期为（ ）．
22??（A）2? （B）答案：（C）
解 化简得，f?x???sin3x?2，则函数f?x?的最小正周期为
22?? （C） （D）?
32??. 3?x2y23.设双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左右焦点分别为F1,F2，点A是过F2且倾斜角为
ab4的直线与双曲线的一个交点．若△F1F2A为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）．
（A）3?12?1 （B）3?1 （C） （D）2?1 22答案；(D)
解 因为AF1?AF2?2a，要使△F1F2A为等腰直角三角形，则A必在双曲线的左支上，且AF2?F1F2?2c，从而AF1?2a?2c，由勾股定理得2?a?c???2?2?2c?.解得
2c?2?1. a4.已知正三棱锥S-ABC，底面边长为1，侧棱为2．若过直线AB的截面，将正三棱锥 的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ） （A）1541515215 （B） （C） （D） 10151515答案：（D）
解：设截面与棱SC交于D点，由已知条件可知，点D为棱SC的中点．取AB的中点
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E，连接EC,DE,SE，则?DEC为截面与底面所成二面角的平面角，设为?．在△SEC中，SE?1535,EC?,SC?2，所以中线DE?.在△DEC应用余弦定理得222cos??215. 155.已知a,b?R，函数f?x??ax?b.若对任意x???1,1?，有0?f?x??1，则的取值范围为（ ）
（A ）??,0? （B）??,0? （C）??,? （D）??,?
252757答案：（D）
3a?b?1a?2b?2?1????4????12????42???解：由题设，0?f?1??1,0?f??1??1，即0?a?b?1,?1?a?b?0.令u?a?b，
c?a?b，则
43a?b?12?. 由此即知??5a?2b?276.已知向量OA,OB垂直，且OA?OB?24.若t??0,1?，则 的最小值为（ ）
（A）2193 （B）26 （C） 242 （D）24 答案：（B）
解：用数形结合方法求解，作正方形OACB，连对角线AB，则向量tAB?AO等于向量OD （D为对角线AB上一点）．向量．因为OD?DC，所以 EB?10）
由几何意义可知DE?DC的最小值为EC的值，即等于26. 7.设集合M???x,y?|5BO??1?t?BA等于向量DE（E为OB上一点，12?????111???,x,y?N*?，则集合M的元素个数为（ ） xy45??（A）0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
答案：（B） 解：由
111??得xy451111112?????,这样，从而
5x2255y155y5x5y155y?Q.同理，5x?Q.所以可设x?5a2,y?5b2,a,b?N*.因此，原式等价于
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111??.解得?a,b???2,6?.又?a,b?与?x,y?一一对应，则集合M中元素的个数为1. ab38.记?x?为不超过x的最大整数．若集合S?所表示的平面区域的面积为（ ）． （A）
??x,y?|?x?y???x?y??1?，则集合S
59 （B）3 （C） （D）4 22答案：（A）
解：当0?x?y?1时，?x?y??0，所以?x?y??1，即?1?x?y?2； 当1?x?y?2时，?x?y??1，所以?x?y??0，即0?x?y?1； 当?1?x?y?0时，?x?y???1，所以?x?y??0，即0?x?y?1. 画出满足上述条件的区域，可知集合S所表示的平面区域的面积为. 二、填空题（本大题共7小题，12题9分，其余各题7分，满分51分）
9.设f?x?是定义在R上的奇函数．若对任意实数x,有f?x?2???f?x?，且当x??0,1?时，f?x??2x，则f103? ． 答案：36?203.
解：由f?x?2???f?x?得f?x?4???f?x?2??f?x?，所以f?x?周期为4，因此 10.已知数列?an?,?bn?满足：a1??1,b1?2,an?1??bn,bn?1?2an?3bnn?N则b2015?b2016? ． 答案：?3?2201552???*?,
.
n解：由题设递推关系，我们有 从而，bn?2?bn?1???2??b2?b1?，注意到b2?2a1?3b1??8．我们有
b2015?b2016??3?22015.
11.设a?R．方程x?a?a?2恰有三个不同的根，则a? ． 答案：2.
解：原方程可变形为x?a?a?2，要使方程恰好有三个不同的根，则a?2，此时方程恰好有三个不同的根x1?2,x2?6,x3??2，所以a?2.
12.已知两个底面重合的正四面体A-OBC和D-OBC，M,N分别为△ADC与△BDC的
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重心．记OA?a,OB?b,OC?c．若点P满足OP?xa?yb?zc,MP?2PN. 则实数x? ，y? ，z? ． 答案：x??245,y?,z?. 999211?OB?OC?b?c,所以 3232111AD?AC??9a?2b?5c,所以OM?OA?AM?2b?5c. 又AM??3299解 设点A在面OBC上的投影为H，则OH???????????同理，
11?3a?5b?5c.由MP?2PN得，OP?OM?2ON.所以 93?5?B?,C?13.在△ABC中，，AC?26,AC的中点为D．若长度为3的线段PQ（P412?????在Q的左侧）在直线BC上滑动，则AP?DQ的最小值为 ．
答案：
30?310.
2解：由已知得A??3，由正弦定理，得BC?6.过D作直线DE平行BC，交AB于E点，
则DE//BC，注意到DE为△ABC的中位线，则DE?3?PQ，所以PQDE为平行四边形，即有DQ?EP.这样问题就转化为在直线BC上找一点，使AP?EP最小．作A关于
BC的对称点A?，则?AP?EP?min?A?E.注意到AB?14.若关于x,y的方程组
有实数解，则正实数m的取值范围为 ． 答案：?1,2?．
解：两式平分后相加，消去x，得
AC?sinC?6?32,则
sinB反之，当1?m?2时，也存在?x0,y0?满足此方程．因此，正实数m的取值范围为?1,2?. 15.已知a,b,c为互不相等的整数，则4a?b?c答案：8. 解：4a?b?c?222???a?b?c?的最小值为 ．
222?222???a?b?c???a?b???b?c???c?a??a2?b2?c2，其最小值
22为8.
三、解答题（本大题共3小题，16题15分，17，18题每题18分，满分51分） 16.设函数f?x??x?k?5ak?3x?7?a,k?R?.已知对于任意的k??0,2?,若x1,
22??x2满足x1??k,k?a?，x2??k?2a,k?4a?，则f?x1??f?x2?,求正实数a的最大值．
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k2?5ak?3解 由于二次函数f?x??x?k?5ak?3x?7的对称轴为x?，故题设条
22?2?件等价于对任意的k??0,2?，均有 即对任意的k??0,2?，均有 注意到
?k2?2k?3?当且仅当k?6?1时取等号，故???26?4.
?k?1?min所以，正实数a的最大值为
26?4. 53x2y2?16?17.已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?经过点P?3,?，离心率为．过椭圆C的右焦点
ab5?5?作斜率为k的直线l，交椭圆于A,B两点，记PA,PB的斜率为k1,k2. （1）求椭圆的标准方程； （2）若k1?k2?0，求实数k. 解 （1）由题设条件，得
x2y2??1. 所以椭圆方程为
2516（2）椭圆的右焦点坐标为?3,0?. 若k?0时，A??5,0?,B?5,0?,则k1?28,k2??,此时k1?k2?0．故k?0. 55直线l的方程为y?k?x?3?.和椭圆方程联立，并消去y，得 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则由韦达定理，得 注意到y1?k?x1?3?,y2?k?x2?3?,可得
18.给定数列?xn?，证明：存在唯一分解xn?yn?zn，其中数列?yn?非负，?zn?单调不减，并且yn?zn?zn?1??0,z0?0.
证 我们只需证明对任意的正整数n，满足
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2020年浙江省高中数学竞赛试题及答案
