匀变速直线运动的速度与位移的关系
【学习目标】
221、会推导公式vt?v0?2ax
222、掌握公式vt?v0?2ax，并能灵活应用
【要点梳理】
要点一、匀变速直线运动的位移与速度的关系
根据匀变速运动的基本公式
t vt?v0?a，
? x?v0t12a，t 222 消去时间t，得vt?v0?2ax．
即为匀变速直线运动的速度—位移关系．
要点诠释：
①式是由匀变速运动的两个基本关系式推导出来的，因为不含时间，所以若所研究的问题中不涉及时间这个物理量时利用该公式可以很方便, 应优先采用． ②公式中四个矢量vt、v0、a、x也要规定统一的正方向. 要点二、匀变速直线运动的四个基本公式
(1)速度随时间变化规律：vt?v0?at． (2)位移随时间变化规律：x?v0t?12at． 222 (3)速度与位移的关系：vt?v0?2ax．
(4)平均速度公式：v?x0?vtv?vtt． ，x?022 要点诠释：
运用基本公式求解时注意四个公式均为矢量式，应用时，要选取正方向．公式(1)中不涉及x，公式(2)中不涉及vt，公式(3)中不涉及t，公式(4)中不涉及a，抓住各公式特点，灵活选取公式求解．共涉及五个量，若知道三个量，可选取两个公式求出另两个量． 要点三、匀变速直线运动的三个推论 要点诠释：
(1)在连续相邻的相等的时间(T)内的位移之差为一恒定值，即△x＝aT2(又称匀变速直线运动的判别式)．
推证：设物体以初速v0、加速度a做匀加速直线运动，自计时起时间T内的位移 x1?v0T?12aT． ① 2 在第2个时间T内的位移
x2?v012T?a(2T)2?x1
232aT． ② 2 ?v0T? 即△x＝aT2． 进一步推证可得
①a??xxn?1?xnxn?2?xnxn?3?xn????… T2T22T23T2 ②x2-x1＝x3-x2＝…＝xn-xn-1，据此可补上纸带上缺少的长度数据．
(2)某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度 即vt?v?2v0?vt． 2 推证：由vt＝v0+at， ① 知经
t时间的瞬时速度 vt?v0?a22t． ② 2 由①得at?vt?v0，代入②中，得
vvv?v1vt/2?v0?(vt?v0)?v0?t?0?0t，
2222即vt?2v0?vt． 2(3)某段位移内中间位置的瞬时速度vx与这段位移的初、末速度v0与vt的关系为
2vx?2122(v0?vt)． 222 推证：由速度－位移公式vt?v0?2ax， ①
知vx?v0?2a222x． ② 22202vt2?v0122将①代入②可得vx?v?，即vx?(v0?vt)．
2222要点四、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式
要点诠释：
初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动，它自己有着特殊的规律，熟知这些规律对我们解决很多运动学问题很有帮助．
设以t＝0开始计时，以T为时间单位，则
(1)1T末、2T末、3T末、…瞬时速度之比为v1:v2:v3:…＝1:2:3:…． 可由vt＝at，直接导出 (2)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内的位移之比为：x1:x2:x3:xn＝1:3:5:…:(2n-1)． 推证：由位移公式x?121at得x1?aT2， 22 x2?11232a(2T2)?aT?a，T 22211x3?a(3T)2?a(2T)2
225?aT2． 2 可见，x1 : x2 : x3 : … : xn＝1 : 3 : 5 : … : (2n-1)．
即初速为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内位移的比等于连续奇数的比．
…?12：22：32：…， (3)1T内、2T内、3T内、…、位移之比为：x1：x2：x3：可由公式x?12at直接导出． 2 (4)通过连续相同的位移所用时间之比 t1:t2:t3: 推证：由x?::2?1):(?3nt?1(2x12at知t1?，
a22:):n(?n?． 1) 通过第二段相同位移所用时间 t2?2?2x?a2x?a2x(2?1，) a同理：t3?3?2x2?2x?， aa2x(3?2)， a ?则t1:t2:t3:???:tn?1:(2?1):(3-2):???:(n?n?1)．
要点五、纸带问题的分析方法
(1)“位移差法”判断运动情况，设时间间隔相等的相邻点之间的位移分别为x1、x2、x3…． ①若x2-x1＝x3-x2＝…＝xn?xn?1＝0，则物体做匀速直线运动． ②若x2-x1＝x3-x2＝…＝xn?xn?1＝△x≠0，则物体做匀变速直线运动．
(2)“逐差法”求加速度，根据x4-x1＝x5-x2＝x6-x3＝3aT2(T为相邻两计数点的时间间隔)，有 a1?x5?x2x6?x3x4?x1a?a?，，， 233T23T23T2 然后取平均值，即
a?a1?a2?a3
3(x6?x5?x4)?(x3?x2?x)1． 29T ? 这样使所给数据全部得到利用，以提高准确性．
要点诠释：①如果不用“逐差法”求，而用相邻的x值之差计算加速度，再求平均值可得：
x?xx?x?x?x1?x?xx?xa??221?322?524?625??621．
5?TTTT5T? 比较可知，逐差法将纸带上x1到x6各实验数据都利用了，而后一种方法只用上了x1和x6两个实验数
据，实验结果只受x1和x6两个数据影响，算出a的偶然误差较大．
②其实从上式可以看出，逐差法求平均加速度的实质是用(x6+x5+x4)这一大段位移减去(x3+x2+x1)这一大段位移，那么在处理纸带时，可以测量出这两大段位移代入上式计算加速度，但要注意分母(3T)2而不是3T2．
(3)瞬间速度的求法
在匀变速直线运动中，物体在某段时间t内的平均速度与物体在这段时间的中间时刻
t时的瞬时速度2相同，即vt?v．所以，第n个计数点的瞬时速度为：vn?2xn?xn?1． 2T(4)“图象法”求加速度，即由vn?度．
【典型例题】 类型一、公式
2vt2?v0?2axxn?xn?1，求出多个点的速度，画出v-t图象，直线的斜率即为加速2T的应用
例1、一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，当火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过这个路标时的速度为v2，求： (1)列车的加速度a；
(2)列车中点经过此路标时的速度v； (3)整列火车通过此路标所用的时间t．
22v2?v122lv12?v2【答案】（1）a? （2） v? （3）t?
v1?v22l2【解析】火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l，速度
变为v2，所求的v是经过
l处的速度．其运动简图如图所示． 2
2v2?v12 (1)由匀变速直线运动的规律得v?v?2al，则火车的加速度为a?．
2l2221 (2)火车的前一半通过此路标时，有v?v1?2a22l， 2 火车的后一半通过此路标时，有v2?v?2a2v12?v2 所以有v?v?v?v，故v?．
222122222l， 2 (3)火车的平均速度v?v1?v2l2l，故所用时间t??．
vv1?v2222【总结升华】对于不涉及运动时间的匀变速直线运动问题的求解，使用vt?v0?2ax可大大简化解题过
程．
举一反三
【变式1】在风平浪静的海面上，有一战斗机要去执行一项紧急飞行任务，而航空母舰的弹射系统出了故障，无法在短时间内修复．已知飞机在跑道上加速时，可能产生的最大加速度为5m/s2，起飞速度为50m/s，跑道长为100 m．经过计算发现在这些条件下飞机根本无法安全起飞．航空母舰不得不在海面上沿起飞方向运动，从而使飞机获得初速度，达到安全起飞的目的，那么航空母舰行驶的速度至少为多大? 【答案】18.4m/s
【解析】若飞机从静止起飞，经过跑道100 m后，速度为v． 由v2＝2ax．知v?2?5?100m/s?1010m/s?50m/s．
故航空母舰要沿起飞方向运动．
取航空母舰为参考系，vt?2ax?1010m/s?31.6m/s， 故航空母舰行驶的速度至少为v??(50?31.6)m/s?18.4m/s．
【高清课程：匀变速直线运动中速度与位移的关系 第5页】
【变式2】某飞机着陆时的速度是216km/h，随后匀减速滑行，加速度的大小是2m/s2。机场的跑道至少要多长才能使飞机安全地停下来？ 【答案】900m
类型二、匀变速直线运动公式的灵活运用
例2、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速度和加速度．
高中物理必修一匀变速直线运动的速度与位移的关系提高练习题测试题
