?DG?A1B,A1B?2,AG?1?S?A1DG?1A1B?1,DG?3, 2113A1G?DG??1?3?222...10分
1133VG?A1DC?VC?A1DG?S?A1DG?CD???2?....12分
332319. 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为
(0.02?0.04?0.02)?10?0.8，
所以样本中分数高于60的概率为0.8．
故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．
3分
（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为
(0.01?0.02?0.04?0.02)?10?0.9，...5分
分数在区间[40,50)内的人数为100?100?0.9?5?5．...6分 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为500?5?25．...7分 100（Ⅲ）设3名男生分别为a1,a2,a3，2名女生分别为b1,b2，则从这5名同学中选取2人的结果为：
{a1,a2},{a1,a3},{a1,b1},{a1,b2},{a2,b1},{a2,b2}{，a3,b1},{a3,b2},{a2,a3},{b1,b2}
共10种情况. ...9分 其中2人中男女同学各1人包含结果为：
{a1,b1},{a1,b2},{a2,b1},{a2,b2}{，a3,b1},{a3,b2}，共6种. ...10分
设事件A?{抽取的2人中男女同学各1人}，则P(A)?所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是20.解：（1）由抛物线定义得2+
63? 1053. ...12分 5p=3， ...2分 22解得p?2，所以曲线C方程为x?4y ....4分 （2）以PQ为直径的圆过原点O，?OP?OQ....5分
设直线OP的方程为y?kx(k?0),与曲线C方程x?4y联立，得x2?4kx 解得x?0(舍去）或x?4k 于是P(4k,4k). ...7分 又直线OQ的方程为y??22144x，同理：Q(?,2) .....9分
kkky?4k2x?4k?,....10分 又直线PQ斜率存在，?PQ的直线方程为44?4k2??4k2kk即y?(k?)x?4.
1k?直线PQ恒过定点（0，4）. ...12分
20.解：（1）
1f(x)?ax2?x?lnx,?f'(x)?2ax?1?.x
?k?f'(1)?2a....1分因为f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y?2x?1平行，
?2a?2,即a?1....2分
?f(1)?0,故切点坐标为（1,0）....3分 ?切线方程为y?2x-2....4分
(2)12ax2?x?1f(x)?2ax?1??,xx'?由题知方程2ax2?x?1?0在（0，??）上有两个不等实根x1,x2.
????1?8a?0,?11???x1?x2??0,?0?a?....6分
2a8?1?xx??0,12?2a?2又f(x1)?f(x2)?ax12?ax2?(x1?x2)?lnx1?lnx22 ?a(x12?x2)?(x1?x2)?ln(x1x2) =a[(x1?x2)2?2x1x2]?(x1?x2)?ln(x1x2) =ln11??1,2a4a
令t?t112?t1?0,...9分,g(t)?lnt??1,t?(4,??),则g'(t)???2t22t2a
?g(t)在(4,??)上单调递减.?g(t)?g(4)?ln4?3?2ln2?3.
即f(x1)?f(x2)?2ln2?3....12分
22.解析：（I）将点P(1,)代入曲线E的方程，
23?1?acos?,?得?3
?3sin?,??2解得a?4，……2分
2x2y2??1, 所以曲线E的普通方程为43极坐标方程为?2(cos2??sin2?)?1.……5分 （Ⅱ）不妨设点A,B的极坐标分别为
1413A(?1，?)，B(?2，??)，?1?0，?2?0,
2?122?122(?cos???1sin?)?1,1??43则?
1?1??(?2cos2(??)??2sin2(??)?1,22?232?412?112?cos??sin?,??243?1即?……8分
111??sin2??cos2?,2?3??241?12?12?2?117117????,即……10分
4312|OA|2|OB|21223. 解析：（I）由f?x??m，得，
1)?(2x＋1)，……3分 不等式两边同时平方，得(x－即3x(x?2)?0，解得?2?x?0.
22
所以不等式f?x??m的解集为{x|?2?x?0}．……5分 （Ⅱ）设g（x）＝|x－1|－|2x＋1|，
1?x?2,x??,?2?1?g(x)???3x,??x?1,2???x?2,x?1,?? ……8分
f?n??0?g(n)??m因为g(?2)?g(0)?0，g(?3)??1,g(?4)??2,g(1)??3.
又恰好存在4个不同的整数n，使得f?n??0， 所以?2??m??1.
故m的取值范围为[1,2). ……10分
河南省新乡市新乡一中2020届高三数学上学期第一次质量预测试题文
