正弦定理
A级 基础巩固
一、选择题
1
1．在△ABC中，若a＝3，cos A＝，则△ABC外接圆的半径为( )
2A．6 答案：D
2．在△ABC中，a＝3，b＝3，A＝60°，那么角B等于( ) A．30° C．30°或150°
B．60° D．60°或120°
B．23
C．3
D.3
解析：因为a＝3，b＝3，A＝60°，所以sin B＝以B＝30°.
答案：A
3．在△ABC中，b＝5，B＝A．102
bsin A1
＝.因为a>b，所以A>B，所a2
π
，tan A＝2，则a的值为( ) 4
C.10
D.2
B．210
π
解析：因为在△ABC中，b＝5，B＝，
4sin A22
tan A＝＝2，sinA＋cosA＝1，
cos A25
所以sin A＝. 5
a5
由正弦定理可得＝，
π25
sin
45
解得a＝210. 答案：B
4．在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )
A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．a＝b?sin 2A＝sin 2B
- 1 -
ab＋cC．＝ sin Asin B＋sin CD．正弦值较大的角所对的边也较大
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝
sin Asin Bsin Cabcksin B，c＝ksin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确．
当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a≠b，故B错误． 根据比例式的性质易得C正确． 大边对大角，故D正确． 答案：B
5．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．等腰三角形
解析：由正弦定理得：＝＝2R，
sin Asin B由a＝bsin A得：
2Rsin A＝2Rsin B·sin A， π
所以sin B＝1，所以B＝. 2答案：B 二、填空题
6．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若2sin B＝sin A＋sin C，cos B3
＝，且S△ABC＝6，则b＝________． 5
341
解析：在△ABC中，cos B＝，则sin B＝.由S△ABC＝·acsin
552
abB＝6，得ac＝15，
由正弦定理得2b＝a＋c，
（a＋c）－b34b－b所以cos B＝－1，即＝－1，
2ac52×15解得b＝16，又b>0，所以b＝4. 答案：4
2sin A－sin B7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________．
sin C解析：设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)， 由正弦定理，
2
2
2
2
2
- 1 -
得
2sin A－sin B2a－b2×4k－3k＝＝＝1.
sin Cc5k答案：1
8．在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，则AB边上的高是________． 解析：由正弦定理，所以sin C＝
＝，
sin Bsin CACABAB·sin 30°23·sin 30°3
＝＝，
AC22
所以C＝60°或120°，
(1)当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2；
(2)当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin 30°＝1. 答案：1或2 三、解答题
9．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝45°，b＝45，sin
B＝
25
. 5
(1)求c的值； (2)求sin A的值．
25
解：(1)因为C＝45°，b＝45，sin B＝，
5
45×255
22
＝52.
所以由正弦定理可得c＝
bsin C＝sin B25
(2)因为sin B＝，B为锐角，
5所以cos B＝1－sinB＝
2
5， 5
25252310
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝.
52521010．在△ABC中，已知atan B＝btan A，试判断三角形的形状．
2
2
a2sin Bb2sin A解：由已知得＝，
cos Bcos AsinAsin BsinBsin A由正弦定理得＝.
cos Bcos A因为sin A，sin B≠0，所以sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B.
- 1 -
2
2
所以2A＋2B＝π或2A＝2B. π
所以A＋B＝或A＝B.
2
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．
B级 能力提升
1.如图所示，在△ABC中，已知∠A∶∠B＝1∶2，角C的平分线CD把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A等于( )
1A. 33C. 4
1B. 2D．0
解析：因为角C的平分线为CD，所以∠ACD＝∠BCD， 1
AC·CDsin ∠ACDS△ACD2AC3因为＝＝＝，
S△ABCD1CB2
CB·CDsin ∠BCD2所以设AC＝3x，CB＝2x，
因为∠A∶∠B＝1∶2，设∠A＝α，∠B＝2α，
2x3x3x在△ABC中，利用正弦定理＝＝，
sin αsin 2α2sin αcos α3
解得：cos α＝.
4答案：C
→
2．△ABC中，∠A＝60°，点D在边AC上，DB＝3，且BD＝λ?(λ>0)，则AC＋AB的最大值为________．
解析：如图，作BE⊥AC于E，取AC中点F连接BF，
→→??BABC?＋
→?|→?
?BA|sin A|BC|sin C?
→→→→??BABCBABCλ→→2λ→?＝λ(BD＝λ?＋＋)＝(BA＋BC)＝BF，
→?|→?|BE||BE||BE||BE|
?BA|sin A|BC|sin C?
- 1 -
→→
所以BD与BF共线，从而点D与点F重合，即D是AC中点．
π?π2π?△ABD中，A＝60＝，记∠ABD＝α，则0<α<，sin ∠ADB＝sin?α＋?， 3?33?
ABADBDABAD3
由正弦定理得＝＝，即＝＝，
sin ∠ADBsin ∠ABDsin Aπ?sin απ?sin sin?α＋?3?3?
π??所以AB＝2sin?α＋?，AD＝2sin α，
3??
AB＋AC＝AB＋2AD＝2sin(α＋)＋4sin α＝2(sin αcos ＋cos αsin )＋4sin α＝5sin α＋3cos α＝27sin(α＋θ)，
53
其中θ为锐角，cos θ＝，sin θ＝，
277π
所以α＝－θ时，AB＋AC取得最大值27.
2答案：27.
3．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝2b，2cos 2B－8cos
π
3π3π3
B＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．
解：因为2cos 2B－8cos B＋5＝0， 所以2(2cosB－1)－8cos B＋5＝0. 所以4cosB－8cos B＋3＝0， 即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0. 13
解得cos B＝或cos B＝(舍去)．
22因为0＜B＜π， π
所以B＝.
3因为a＋c＝2b. 由正弦定理，得
π
sin A＋sin C＝2sin B＝2sin ＝3.
3所以sin A＋sin?
2
2
?2π－A?＝3，
??3?
2π2π
所以sin A＋sin cos A－cos sin A＝3.
3333
化简得sin A＋cos A＝3，
22
- 1 -
2020秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理达标检测含解析
