2021版高考数学一轮复习 第二章18函数与导数 练案(含解析)

2021版高考数学一轮复习 第二章18函数与导数 练案（含解析）

2021版高考数学一轮复习 第二章18函数与导数 练案（含解析）

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1．(2020·湖北宜昌模拟)已知函数f(x)＝(m＋)ln x＋－x，其中常数m>0.

mx(1)当m＝2时，求f(x)的极大值； (2)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性．

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[解析] (1)当m＝2时，f(x)＝ln x＋－x，教育精品 2x

f′(x)＝－－1＝－

5

2x1x2

x－2

2x2

2x－1

(x>0)教育精品 11

当02时，f′(x)<0，当0，教育精品 2211

∴f(x)在(0，)和(2，＋∞)上单调递减，在(，2)上单调递增，教育精品 2253∴f(x)的极大值为f(2)＝ln 2－.

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11

m＋x－mx－

m1m

(2)f′(x)＝－－1＝－(x>0，m>0)，教育精品 xx2x2故当0

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当m>1时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增．教育精品 mm

2．(2020·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期开学考试)设函数f(x)＝3x2＋ax

(a∈R)．教育精品 ex

(1)若f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；教育精品 (2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求实数a的取值范围． [解析] (1)对f(x)求导得

f′(x)＝

6x＋a

ex－3x2＋axex－3x2＋6－ax＋a

＝.教育精品 ex2ex

因为f(x)在x＝0处取得极值， 所以f′(0)＝0，即a＝0.

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2021版高考数学一轮复习 第二章18函数与导数 练案（含解析）

3x2－3x2＋6x

当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，教育精品 exex由f′(x)>0,02， 故a＝0时，f(x)在x＝0处取得极值，

f(1)＝，f′(1)＝，

从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程

3

e3e

y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.

－3x2＋

(2)由(1)知f′(x)＝

2

3e3e

6－ax＋a

，

ex

令g(x)＝－3x＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0，

6－a－a2＋366－a＋a2＋36

解得x1＝，x2＝.教育精品 66当x0，即f′(x)>0，故f(x)为增函数； 当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数． 由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，

6－a＋a2＋369知x2＝≤3，解得a≥－.教育精品 629

故a的取值范围为[－，＋∞)．

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3．已知函数f(x)＝x＋(1－a)x－aln x.

2(1)讨论f(x)的单调性；

(2)设a>0，证明：当0

ax2＋1－ax－a

由已知，得f′(x)＝x＋1－a－＝＝

xx

x＋1

xx－a

.教育精品 若a≤0，则f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝a.

当0a时，f′(x)>0.

此时f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．

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(2)令g(x)＝f(a＋x)－f(a－x)，则g(x)＝(a＋x)＋(1－a)(a＋x)－aln(a＋x)－[(a22－x)＋(1－a)(a－x)－aln(a－x)]＝2x－aln(a＋x)＋aln(a－x)．教育精品 2

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