北京科技大学数学竞赛试题解答2010一.选择题(每小题2分,共20分)
1.设函数f(x)和g(x)均可导,且f(x) x x B.f(?x)>g(?x) C.lim x0 ∫f(t)dt x?x0 x→x0 x0 ∫g(t)dt x?x0 xx x→x0 D.∫f(t)dt<∫g(t)dt?x x0 x0 答案:C. 对C运用洛比达法则. 11 2.设函数f(x)满足f(x)=f(x+2),f(0)=,又在(?1,1)有f′(x)=|x| 8 1 则f(3)=________. 2 ?121xx+<<01??28f(x)=?112??x+?1 22222 1 )∞sin(x+x3.积分I=∫dx条件收敛的充要条件是_____.αx0Aα∈(0,1);Bα∈(0,2);Cα∈(0,3);Dα∈(0,1.5) 21∞ 令I=∫+∫ 0 1 1 =I1+I2,显然当α≤0时,I2发散。做变换x=, t 易知当α≥2时,I1发散。所以只考虑0<α<2。 11)sin(x+)∞(1?1∞2xx将I写成I=∫dx=∫+∫=I1+I2, 1α001x(1?2)x AA 1111 其中|∫(1?2)sin(x+)dx|=|∫sin(x+)d(x+)| xxxx11 1 =|cos2-cos(A+)|≤2,关于A>1有界. A11 当x→∞时,α=α→0. x(1?12)x?12?αxx 3由Dirichlet判别法知,当0<α<2,I2收敛.1 作变换x=,类似可知,I1收敛, t 故I在(0,2)收敛。 下证I在α∈(0,2)非绝对收敛。事实上,因为 11122 sin(x+)sin(x+)cos(x+) 1xxx||≥=α?,αααxx2x2x 1α∈(1,2)讨论。分别对α∈(0,)和 所以I条件收敛?α∈(0,2) 4334.在[0,π]上方程sinxcosx=a(a>)的实根个数是_________. 16 3 x 令f(x)=sinxcosx?a,f′(x)=sinx(3?4sinx), πππ2π2π0 (0,+递增 3) 0-a 3 0 (3?,3) 30 322 f′(x)f(x) 2π(,π)3+ π0 3333-a 递减 --a 递增 -a 1616