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第4讲 随机抽样和样本估计总体
[玩前必备]
1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法． (3)应用范围：总体个体数较少． 2．系统抽样的步骤
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． (1)先将总体的N个个体编号；
NN
(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
nn(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l≤k)；
(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本． 3．分层抽样
(1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法． 4.频率分布表
(1)含义：把反映总体频率分布的表格称为频率分布表． (2)频率分布表的画法步骤：
极差
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
组数
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 5. 频率分布直方图
利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图． (1)作频率分布直方图的方法
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①先制作频率分布表，然后作直角坐标系．
②把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等频率
于该组的，这样得出一系列的矩形．
组距
③每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图． (2)频率分布直方图的特征
①直方图中各小长方形的面积之和为1.
频率频率
②直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积．
组距组距③直方图中每组样本的频数为频率×总体数． 6．茎叶图
茎相同者共用一个茎(如两位数中的十位数)，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶(如两位数中的个位数)，一般按从小到大(或从大到小)的顺序同行列出．这样将样本数据有条理地列出来的图形叫做茎叶图．其优点是当样本数据较少时，茎叶图可以保留样本数据的所有信息，直观反映出数据的水平状况、稳定程度，且便于记录和表示；缺点是对差异不大的两组数据不易分析，且样本数据很多时效果不好． 茎叶图的画法步骤
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．
7．样本的数字特征：众数、中位数、平均数、方差、标准差
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数．
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． 1
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x＝(x1＋x2＋…＋xn)．
n
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是 s＝
1[(x1?x)2?(x2?x)2?L?(xn?x)2]， n第 2 页 共 15 页
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1
s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]
n
标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差． (5)标准差和方差的一些结论
若取值x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为ax＋b，方差为a2s2.
[玩转典例]
题型一 随机抽样
例1 (高考江西卷)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 08 B．07 C．02 D．01
例2 为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是________．(填序号)
① 5，10，15，20，25；② 2，4，8，16，32；③ 1，2，3，4，5；④ 7，17，27，37，
47.
例3 某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表：
女生 男生 高一年级 523 487 高二年级 x 490 高三年级 y z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17.若现需对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，则应在高三年级抽取的学生人数为________． [玩转跟踪]
1.(广东,6)为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本 ,则分段的间隔为( )
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A.50 B.40 C.25 D.20
2．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( ) A. 5,10,15,20,25 B. 3,13,23,33,43 C. 1,2,3,4,5 D. 2,4,6,16,32
3．(2017·江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
4.（四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 题型二 频率分布直方图
例4 (山东,8)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )
A．6 B．8 C．12 D．18
例5 在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________．
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例6 (2017·全国Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 [玩转跟踪]
1.(山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为
[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
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艺体冲刺d第4讲 随机抽样和样本估计总体学生
