复数的三角形式及其运算
【教学重难点】 复数的三角形式 复数三角形式乘、除运算的 三角表示及其几何意义 【教学目标】 了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 【核心素养】 数学抽象 了解复数乘、除运算的三角表示及其几数学抽象、数学何意义 运算 【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题： 1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？ 2．复数的辐角、辐角的主值是什么？ 3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？ 4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？ 二、基础知识
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z→所在射线(射线OZ→)为终边的角，叫做复数z＝a＋
的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ
bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
■名师点拨
（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． （2）复数0的辐角是任意的．
（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π. （4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则 （1）z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)
＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． z1r1（cos θ1＋isin θ1）（2）z＝ 2r2（cos θ2＋isin θ2）r1＝r[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
2即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 三、合作探究
1．复数的代数形式与三角形式的互化 角度一 代数形式化为三角形式
把下列复数的代数形式化成三角形式： （1）3＋i； （2）2－2i.
【解】（1）r＝3＋1＝2，因为3＋i对应的点在第一象限， π3
，即θ＝， 26
π??π
所以3＋i＝2?cos＋isin?.
66??所以cos θ＝
2
（2）r＝2＋2＝2，cos θ＝2， 又因为2－2i对应的点位于第四象限， 7π
所以θ＝4.
7π??7π
?. 所以2－2i＝2?cos＋isin
44??
复数的代数形式化三角形式的步骤 （1）先求复数的模． （2）决定辐角所在的象限． （3）根据象限求出辐角． （4）求出复数的三角形式．
[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但
三角形式辐角不一定取主值．
角度二 三角形式化为代数形式
分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
ππ??
（1）4?cos ＋isin ?；
66??3
（2）2(cos 60°＋isin 60°)；
ππ??
（3）2?cos －isin ?.
33??
πππ??
【解】（1）复数4?cos ＋isin ?的模r＝4，辐角的主值为θ＝6.
66??
ππππ??
4?cos ＋isin ?＝4cos 6＋4isin 6 66??
31＝4×2＋4×2i ＝23＋2i.
33
（2）2(cos 60°＋isin 60°)的模r＝2，辐角的主值为θ＝60°. 331332(cos 60°＋isin 60°)＝2×2＋2×2i 33＝＋i. 44
ππ??
（3）2?cos －isin ?
33??
π?π?????
＝2?cos?2π－?＋isin?2π－??
3?3?????5??5
＝2?cos3π＋isin 3π?. ??
5
所以复数的模r＝2，辐角的主值为3π.
55?55?cos π＋isin π??233?＝2cos 3π＋2isin 3π ?1?3?＝2×2＋2×?－?i
?2?＝1－3i.
复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）.
2．复数三角形式的乘、除运算
人教B版(2019)数学必修(第四册)：10.3 复数的三角形式及其运算 教案
