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数学函数几何综合压轴题(精选16题)

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数学函数几何综合压轴题

1.(2004安徽芜湖)如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知:A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证:E点在y轴上;

(2) 如果有一抛物线经过A,E,C三点,求此抛物线方程. (3) 如果AB位置不变,再将DC水平向右移动k(k>0)个单位,此时AD与BC相交于E′点,

如图②,求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.

y y B B D D

O x x O

E′ E

C(1,-3) C(1+k,-3)

A A

(2,-6) (2,-6) 图2 图1

2. (2004广东茂名)已知:如图,在直线坐标系中,以点M(1,0)为圆心、直径AC为22的圆与y轴交于A、D两点.

(1)求点A的坐标;

(2)设过点A的直线y=x+b与x轴交于点B.探究:直线AB是否⊙M的切线?并对你的结论加以证明;

(3)连接BC,记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2,若

S1h?,抛物线 S24y=ax2+bx+c经过B、M两点,且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式.

y A M · D C B x

3.(2004湖北荆门)如图,在直角坐标系中,以点P(1,-1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A、B两点,抛物线y?ax?bx?c(a?0)过点A、B,且顶点C在⊙P上. (1)求⊙P上劣弧AB的长;

(2)求抛物线的解析式;

(3)在抛物线上是否存在一点D,使线段OC与PD互相平分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. y

A B

O · x P(1,-1)

C

4.(2004湖北襄樊)如图,在平面直角坐标系内,Rt△ABC的直角顶点C(0,3)在y轴的正半轴上,A、B是x轴上是两点,且OA∶OB=3∶1,以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E,交BC于点F.直线EF交OC于点Q. (1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;

(2)请猜想:直线EF与两圆有怎样的位置关系?并证明你的猜想.

(3)在△AOC中,设点M是AC边上的一个动点,过M作MN∥AB交OC于点N.试问:在x轴上是否存在点P,使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.

y

C E Q F

A O1 O O2 B x ⌒25.(2004湖北宜昌)如图,已知点A(0,1)、C(4,3)、E(

1523,),P是以AC为对角线的48矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点,点D在y轴,抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点. (1)说明点A、C、E在一条条直线上;

(2)能否判断抛物线y=ax2+bx+1的开口方向?请说明理由;

(3)设抛物线y=ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧),△GAO与△FAO的面积差为3,且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点.这时能确定a、b的值吗?若能,请求出a、b的值;若不能,请确定a、b的取值范围. (本题图形仅供分析参考用)

Y D A B O X C P

6.(2004湖南长沙)已知两点O(0,0)、B(0,2),⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C,⊙A被y轴分成段两圆弧,其弧长之比为3∶1,直线l与⊙A切于点O,抛物线的顶点在直线l上运动.

(1)求⊙A的半径;

(2)若抛物线经过O、C两点,求抛物线的解析式;

(3)过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点,且PC=CE,求点E的坐标;

(4)若抛物线与x轴分别相交于C、F两点,其顶点P的横坐标为m,求△PEC的面积关于m的函数解析式.

7.(2006江苏连云港)如图,直线y?kx?4与函数y?点,且与x、y轴分别交于C、D两点.

A A m(x?0,m?0)的图像交于A、B两x(1)若?COD的面积是?AOB的面积的2倍,求k与m之间的函数关系式;

(2)在(1)的条件下,是否存在k和m,使得以AB为直径的圆经过点P(2,0).若存在,求出k和m的值;若不存在,请说明理由.

2CABOPD

8.(2004江苏镇江)已知抛物线y?mx?(m?5)x?5(m?0)与x轴交于两点A(x1,0)、

B(x2,0)(x1?x2),与y轴交于点C,且AB=6.

(1)求抛物线和直线BC的解析式.

(2)在给定的直角坐标系中,画抛物线和直线BC. (3)若eP过A、B、C三点,求eP的半径.

(4)抛物线上是否存在点M,过点M作MN?x轴于点N,使?MBN被直线BC分成面

积比为1?3的两部分?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。

9. 如图,⊙M与x轴交于A、B两点,其坐标分别为A(?3,0)、B(1,0),直径CD⊥x轴于N,直线CE切⊙M于点C,直线FG切⊙M于点F,交CE于G,已知点G的横坐标为3.

(1) 若抛物线y??x2?2x?m经过A、B、D三点,求m的值及点D的坐标.

(2) 求直线DF的解析式.

(3) 是否存在过点G的直线,使它与(1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4?若存在,请求出满足条件的直线的解析式;若不存在,请说明理由.

10.(2004山西)已知二次函数y?(第9题图) N A C O E G x M D F y 12x?bx?c的图象经过点A(-3,6),并与x轴交2于点B(-1,0)和点C,顶点为P.

(1)求这个二次函数的解析式,并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象; (2)设D为线段OC上的一点,满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标;

(3)在x轴上是否存在一点M,使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切?如果存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

11.(2004浙江绍兴)在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(3,0). (1)若抛物线过A,B两点,且与y轴交于点(0,-3),求此抛物线的顶点坐标; (2)如图,小敏发现所有过A,B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C,M为抛物线的顶点,那么△ACM与△ACB的面积比不变,请你求出这个比值;

(3)若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E,F,与y轴交于点C,过C作CP∥x轴交l于点P,M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为y 60°的菱形,求次抛物线的解析式.

A O B x O x y C M

12.(2005北京)已知:在平面直角坐标系xOy中,一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A,抛物线y?ax?bx?c经过O、A两点。

(1)试用含a的代数式表示b;

(2)设抛物线的顶点为D,以D为圆心,DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折,翻折后的劣弧落在⊙D内,它所在的圆恰与OD相切,求⊙D半径的长及抛物线的解析式;

(3)设点B是满足(2)中条件的优弧上的一个动点,抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得∠POA?理由。

13.(2005北京丰台)在直角坐标系中,⊙O1经过坐标原点O,分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。

(1)如图,过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C,点O到直线AB的距离为

24∠OBA?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明3 B (2)若⊙O1经过点M(2,2),设?BOA O1 的内切圆的直径为d,试判断d+AB的值 是否会发生变化,如果不变,求出其值, O A x 如果变化,求其变化的范围。

C 式;

k

14.(2005福建厦门)已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y = (k>0)上的点,

x

过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m). 设△OPA

n4

的面积为s,且s=1+. 4 (1)当n=1时,求点A的坐标; (2)若OP=AP,求k的值;

n4

(3 ) 设n是小于20的整数,且k≠,求OP2的最小值.

2

15.(2005湖北黄冈课改)如图,在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A(18,0),B(18,6),C(8,6),四边形OABC是梯形,点P、Q同时从原点出发,分别坐匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位,点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动。

123,sin?ABC?,求直线AC的解析

y 55(1)求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。 (2)试在⑴中的抛物线上找一点D,使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOCy 全等,请直接写出点D的坐标。

(3)设从出发起,运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位,试写出点QC(8,6) B(18,6) 的坐标,并写出此时t的取值范围。 (4)设从出发起,运动了t秒。当P、

QQ两点运动的路程之和恰好等于梯形

OABC的周长的一半,这时,直线PQ

O P A(18,0) x 能否把梯形的面积也分成相等的两部

分,如有可能,请求出t的值;如不可能,请说明理由。 16.(2005湖北荆门)已知:如图,抛物线y?1223x?x?m与x轴交于A、B两点,33与y轴交于C点,∠ACB=90°,

(1)求m的值及抛物线顶点坐标;

(2)过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D,连结DM并延长交⊙M于点E,过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G,求直线FG的解析式;

?上的动点(P不与C、D重合),连结PA交y轴于点H,(3)在(2)条件下,设P为CBD问是否存在一个常数k,始终满足AH·AP=k,如果存在,请写出

求解过程;如果不存在,请说明理由.

y D M · F B E G x A O C

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