数学函数几何综合压轴题
1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E点在y轴上；
(2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，
如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
y y B B D D
O x x O
E′ E
C（1，-3） C（1+k，-3）
A A
（2，-6） （2，-6） 图2 图1
2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与y轴交于A、D两点.
（1）求点A的坐标；
（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；
（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若
S1h?，抛物线 S24y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式.
y A M · D C B x
3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线y?ax?bx?c(a?0)过点A、B，且顶点C在⊙P上. (1)求⊙P上劣弧AB的长；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. y
A B
O · x P（1，－1）
C
4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q. （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.
（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
y
C E Q F
A O1 O O2 B x ⌒25.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(
1523，)，P是以AC为对角线的48矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点． (1)说明点A、C、E在一条条直线上；
(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；
(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)
Y D A B O X C P
6.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动.
（1）求⊙A的半径；
（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；
（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；
（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.
7.（2006江苏连云港）如图，直线y?kx?4与函数y?点，且与x、y轴分别交于C、D两点．
A A m(x?0,m?0)的图像交于A、B两x（1）若?COD的面积是?AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)．若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．
2CABOPD
8.（2004江苏镇江）已知抛物线y?mx?(m?5)x?5(m?0)与x轴交于两点A(x1,0)、
B(x2,0)(x1?x2)，与y轴交于点C，且AB=6.
（1）求抛物线和直线BC的解析式.
（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （3）若eP过A、B、C三点，求eP的半径.
（4）抛物线上是否存在点M，过点M作MN?x轴于点N，使?MBN被直线BC分成面
积比为1?3的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
9. 如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A(?3，0)、B(1，0)，直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.
(1) 若抛物线y??x2?2x?m经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.
(2) 求直线DF的解析式.
(3) 是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.
10.（2004山西）已知二次函数y?（第9题图） N A C O E G x M D F y 12x?bx?c的图象经过点A（－3，6），并与x轴交2于点B（－1，0）和点C，顶点为P.
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
11.（2004浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）. （1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；
（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为y 60°的菱形，求次抛物线的解析式.
A O B x O x y C M
12.（2005北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A，抛物线y?ax?bx?c经过O、A两点。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA?理由。
13.（2005北京丰台）在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。
（1）如图，过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为
24∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明3 B （2）若⊙O1经过点M（2，2），设?BOA O1 的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值 是否会发生变化，如果不变，求出其值， O A x 如果变化，求其变化的范围。
C 式；
k
14.（2005福建厦门）已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y ＝ (k＞0)上的点，
x
过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）(a＞m). 设△OPA
n4
的面积为s，且s＝1＋. 4 （1）当n＝1时，求点A的坐标； （2）若OP＝AP，求k的值；
n4
(3 ) 设n是小于20的整数，且k≠，求OP2的最小值.
2
15.（2005湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。
123，sin?ABC?，求直线AC的解析
y 55（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。 （2）试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOCy 全等，请直接写出点D的坐标。
（3）设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点QC（8，6） B（18，6） 的坐标，并写出此时t的取值范围。 （4）设从出发起，运动了t秒。当P、
QQ两点运动的路程之和恰好等于梯形
OABC的周长的一半，这时，直线PQ
O P A（18，0） x 能否把梯形的面积也分成相等的两部
分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。 16.（2005湖北荆门）已知：如图，抛物线y?1223x?x?m与x轴交于A、B两点，33与y轴交于C点，∠ACB＝90°，
（1）求m的值及抛物线顶点坐标；
（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；
?上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，（3）在（2）条件下，设P为CBD问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出
求解过程；如果不存在，请说明理由.
y D M · F B E G x A O C
数学函数几何综合压轴题（精选16题）
