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2017 年考研数学一真题及答案解析
跨考教育 数学教研室
一、选择题： 1～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 .
．．．
1 cos x ax
b, x 0
, x
（ 1）若函数 f ( x)
0
在 x
0 处连续，则（
）
1
( A)ab
2
(C) ab 0
【答案】 A
B ab
1 2
D ab 2
【解析】 lim
x
1 cos x
ax 0
1 x
lim 2
ax x 0
1 ,
2a
f (x) 在 x
1
ab
0 处连续
1 b 2a
.选 A.
2
'（ 2）设函数 f ( x) 可导，且 f (x) f ( x) 0 ，则（ ( A) f (1) f (
）
1) B f (1) D f (1)
f ( 1)
(C ) f (1)
f ( 1) f ( 1)
【答案】 C
【解析】 f ( x) f ( x) 0,
'
f (x) f '(x)
2
0 (1)或 f ( x) 0 f '(x) 0 (2) ，只有 C 选项满足 (1) 且满足 (2) ，所以选 C。
0
（ 3）函数 f (x, y, z) x y z 在点 (1,2,0) 处沿向量 u (C)4
(D)2
2
1,2,2 的方向导数为（
）
(A)12(B)6
【答案】 D
gradf
{2 xy, x ,2 z},
2gradf (1,2,0) {4,1,0}
【解析】 选 D.
f gradf u
u {4,1,0} { , ,} 2. | u | 3 3 3
122
（ 4）甲乙两人赛跑， 计时开始时， 甲在乙前方 10（单位： m）处，图中实线表示甲的速度曲线
v v1 (t )（单
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位： m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v 上甲的时刻记为
v2 (t ) ，三块阴影部分面积的数值依次为
）
10,20,3，计时开始后乙追
t0 （单位： s），则（
v(m / s)
10 20
0 5 10 15 20 25 30
t ( s)
( A)t0 10
【答案】 B
t0 0
(B)15 t0 20 (C)t0 25 ( D )t0 25
0到
【解析】从
t0 这段时间内甲乙的位移分别为
t0
0
v1 (t)dt, v2 (t)dt,
0
t0
则乙要追上甲，则
v2 (t)
v1 (t)dt 10 ，当 t0 25
时满足，故选 C.
（ 5）设
是 n 维单位列向量，
T
E 为 n 阶单位矩阵，则（
T
）
(A)E
不可逆
T
B E D E 2
不可逆
T
T
T
(C)E 2
【答案】 A
不可逆 不可逆
【解析】选项 A, 由 ( E
T
) 1得
T
0 得 ( E
T
) x 0 有非零解，故 E
T
0。即E
不可逆。选项 B,由 r ( 其它选项类似理解。
T
)
的特征值为 n-1 个 0，1.故 E
的特征值为 n-1 个 1，2.故可逆。
2
（ 6）设矩阵 A0
0 0 2 1 , B
2 1 0 0 2 0 , C
1 0 0
0 2 0 ,则（
）
0 0 1
(A) A与C相似 , B与C相似 (C) A与C不相似 , B与 C相似
0 0 1 0 0 2 B A与C相似 , B与C不相
似
D A与C不相似 , B与 C不相似
【答案】 B
2
2
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【解析】由 ( E
A) 0 可知 A 的特征值为 2,2,1
1 0 0
因为 3
r (2 E
A) 1 ，∴
A 可相似对角化，且
A ~ 0
2
0
0 0 2
由
E B 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为
3 r (2 E B) 2 ，∴ B 不可相似对角化，显然
C 可相似对角化，
∴A~C，且 B不相似于 C
（ 7）设 A, B 为随机概率，若 0 P( A) 1,0
P( B) 1 ，则 P( A B) P(A B) 的充分必要条件是（ (A)P( B A) P(B A) ( B)P(B A) P( B A) (C )P(B A)
P(B A)
(D)P(B A)
P(B A)
【答案】 A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
（ 8）设 X1, X 2 X n (n
2) 为来自总体 N ( ,1) 的简单随机样本， 记 X1
n
Xi ，则下列结论中不正确
n i 1
的是（
）
n
( A) ( X i
)2 服从 2
分布
B 2( X n X1 )2 服从 2
分布
i 1
n
(C)
( Xi X)2服从
2
分布
D n( X
)2 服从 2
分布
i
1
【答案】 B
【解析】
X N (
,1), X i
N (0,1)
n
(X i
) 2
2
( n), A正确
i 1
n
( n 1)S2
X )2
2
( X
i 1
i (n 1) C， 正确，
1
2X ~N( , ), n ( X
) N (0,1),n( X)2 (1),D正 ~
确 ,
n
( X n X1 )
2
2
故 错误 .
）
~ N (0, 2),
2
~
(1), B
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由于找不正确的结论，故
B 符合题意。
二、填空题： 9
14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上 .
．．．
(9)
已知函数 f ( x)
1
1 x
2，则
(3)
f
(0) =__________
【答案】 f (0) 【解析】
6
f (x)
1 21 x
n 2
1
2
1 ( x )
( x )
2n
( 1) x
n2 n
n 0 n 0
f ( x)
'''
( 1) 2n(2n 1)(2n 2)x
n2 n 3
f (0)
'''0
(10)
微分方程 yx''
2y 3y 0 的通解为 y _________
'
【答案】 y
e (c1 cos 2x c2 sin
2
2x) ，（ c1 , c2 为任意常数）
3 0
1,2
2
【解析】齐次特征方程为
1
2i
故通解为 e (11)
x( c1 cos
2x c2 sin 2x)
aydy若曲线积分
xdx 22
y 1 L x
在区域 D
( x, y) | x
2
y
2
1 内与路径无关，则
a
__________
【答案】 a 【解析】
1 P y
2
,2
2xy
2
Q 2axy
2
2
2
, 由积分与路径无关知
P y
Q x
a
1
( x y
1) x ( x y 1)
(12) 幂级数
( 1)nx n 1
n 1n 1 在区间 ( 1,1)内的和函数 S(x) ________
【答案】 s( x)
1 1 x
2
n 1
n 1
'
'
x
( 1)
n 1
nxn 1
( 1)n 1 xn
1 x
(1 x)
1
2
【解析】
1 0 1
（ 13）设矩阵 A
1 1 2，1, 0 1 1
,
2
3 为线性无关的
3 维列向量组，则向量组
A 1,A 2 , A 3 的秩为
4
4
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2018考研数学一真题和答案与解析
