高中数学讲义 圆锥曲线
【知识图解】 圆 锥曲 线 【方法点拨】
解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.
2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.
3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.
4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程
抛物线 几何性质 定义 双曲线 几何性质 定义 标准方程 标准方程 圆锥曲线应用 椭圆 几何性质 定义 标准方程
第1课 椭圆A
【考点导读】
1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆
简单的几何性质;
2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处
理一些简单的实际问题. 【基础练习】
x2?y2?1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆3外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是______ 2.椭圆x?4y?1的离心率为______
3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆
的标准方程是______
22x2y21??1的离心率e?，则k的值为______ 4. 已知椭圆
k?892【范例导析】
例1.（1）求经过点(?,)，且9x?4y?45与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 （2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。
【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；
②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.
352222y2x2解：（1）∵椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为2?2?1（a?b?0），
ab由椭圆的定义知，
3535312a?(?)2?(?2)2?(?)2?(?2)2?10?10?210，
222222222∴a?10，又∵c?2，∴b?a?c?10?4?6，
y2x2??1。 所以，椭圆的标准方程为
106x2y2（2）方法一：①若焦点在x轴上，设方程为2?2?1?a?b?0?，
ab∵点P（3,0）在该椭圆上∴
922a?9b?1∴椭圆的方程为?1即又，∴a?3b2ax2?y2?1. 9y2x2②若焦点在y轴上，设方程为2?2?1?a?b?0?，
ab∵点P（3,0）在该椭圆上∴
9?1即b2?9又a?3b，∴a2?81∴椭圆的方程为2by2x2??1 819方法二：设椭圆方程为Ax2?By2?1?A?0,B?0,A?B?.∵点P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，
x2y2x21122?y?1或??1. 即A?,又a?3b∴B?1或，a?81∴椭圆的方程为9819981【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为
x2y2y2x2??1?a?b?0?，若焦点在y轴上，设方程为2?2?1?a?b?0?，有时为了运a2b2ab算方便，也可设为Ax?By?1，其中
22A?0,B?0,A?B.
x2y2??1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭例2.点A、B分别是椭圆
3620圆上，且位于x轴上方，PA?PF。 （1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。
【分析】①列方程组求得P坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围. 解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
uuuruuur 设点P(x,y),则AP=（x+6, y）,FP=（x－4, y）,由已知可得 ?x2y2?13??2 ?3620 则2x+9x－18=0, x=或x=－6.
2?(x?6)(x?4)?y2?0?由于y>0,只能x=
533353,于是y=. ∴点P的坐标是(,)
2222
(完整)高中数学讲义圆锥曲线
