2016年内蒙古赤峰市中考数学试卷
一、选择题：每小题3分，共30分 1．（3分）（2016?赤峰）A．﹣
B．
的倒数是（ ） C．2016 D．﹣2016
2．（3分）（2016?赤峰）等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 3．（3分）（2016?赤峰）平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于（ ） A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y=x对称
4．（3分）（2016?赤峰）中国的领水面积约为370000km2，其中南海的领水面积约占我国领水面积的，用科学记数法表示中国南海的领水面积是（ ）
A．37×105km2 B．37×104km2 C．0.85×105km2 D．1.85×105km2 5．（3分）（2016?赤峰）从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
6．（3分）（2016?赤峰）如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150°，∠BCD=30°，则（ ）
A．AB∥BC B．BC∥CD C．AB∥DC D．AB与CD相交 7．（3分）（2016?赤峰）一个长方体的三视图如图所示，则这个长方体的体积为（ ）
A．30 B．15 C．45 D．20 8．（3分）（2016?赤峰）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π
B．π C．π D．2π
1
9．（3分）（2016?赤峰）函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2016?赤峰）8月份是新学期开学准备季，东风和百惠两书店对学习用品和工具实施优惠销售．优惠方案分别是：在东风书店购买学习用品或工具书累计花费60元后，超出部分按50%收费；在百惠书店购买学习用品或工具书累计花费50元后，超出部分按60%收费，郝爱同学准备买价值300元的学习用品和工具书，她在哪家书店消费更优惠（ ） A．东风 B．百惠 C．两家一样 D．不能确定
二、填空题：每小题3分，共18分 11．（3分）（2016?赤峰）分解因式：4x2﹣4xy+y2= ． 12．（3分）（2016?赤峰）数据499，500，501，500的中位数是 ． 13．（3分）（2016?赤峰）如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是 ．
14．（3分）（2016?赤峰）下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是 （填序号）
15．（3分）（2016?赤峰）如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE=30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于 cm．
16．（3分）（2016?赤峰）甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇．
2
三、解答题：共102分
17．（6分）（2016?赤峰）计算：（﹣）1+3tan30°﹣
﹣
+（﹣1）2016．
18．（6分）（2016?赤峰）化简：÷并任选一个你认为合理的正整数代入求
值． 19．（10分）（2016?赤峰）在平面直角坐标系内按下列要求完成作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．
（1）以（0，0）为圆心，3为半径画圆；
（2）以（0，﹣1）为圆心，1为半径向下画半圆； （3）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，0.5为半径画圆； （4）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，1为半径向上画半圆． （向上、向下指在经过圆心的水平线的上方和下方）
20．（10分）（2016?赤峰）下表是博文学校初三?一班慧慧、聪聪两名学生入学以来10次数学检测成绩（单位：分）． 慧慧 116 124 130 126 121 127 126 122 125 123 聪聪 122 124 125 128 119 120 121 128 114 119 回答下列问题：
（1）分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数； （2）分别计算慧慧和聪聪两组数据的方差； （3）根据（1）（2）你认为选谁参加全国数学竞赛更合适？并说明理由；
（4）由于初三?二班、初三?三班和初三?四班数学成绩相对薄弱，学校打算派慧慧和聪聪分别参加三个班的数学业余辅导活动，求两名学生分别在初三?二班和初三?三班的概率． 21．（10分）（2016?赤峰）为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°，C岛在北偏东15°，航行100海里到达B岛，在B岛测得C岛在北偏东45°，求B，C两岛及A，C两岛的距离（留到整数）
≈2.45，结果保
3
22．（10分）（2016?赤峰）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的
．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
23．（12分）（2016?赤峰）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求圆的半径及圆心P的坐标； （2）M为劣弧
的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；
（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．
24．（12分）（2016?赤峰）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=k（x﹣2）的图象交点为A（3，2），B（x，y）． （1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；
（2）若C是y轴上的点，且满足△ABC的面积为10，求C点坐标．
4
25．（12分）（2016?赤峰）如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E． （1）求证：△ABP∽△QEA；
（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA； （3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）
26．（14分）（2016?赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）． （1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式； （2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．
5
2016年内蒙古赤峰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共30分 1．（3分）（2016?赤峰）A．﹣
B．
的倒数是（ ） C．2016 D．﹣2016
【分析】根据倒数的定义，即可解答． 【解答】解：
的倒数是2016．
故选：C．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2．（3分）（2016?赤峰）等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 【分析】由于等腰三角形的两底角相等，所以90°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角．
【解答】解：∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为180°﹣90°=90°， ∴两个底角分别为45°，45°， 故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；确定90°的角是三角形的顶角是正确解答本题的关键． 3．（3分）（2016?赤峰）平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于（ ） A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y=x对称
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案． 【解答】解：平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称． 故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．（3分）（2016?赤峰）中国的领水面积约为370000km2，其中南海的领水面积约占我国领水面积的，用科学记数法表示中国南海的领水面积是（ ）
A．37×105km2 B．37×104km2 C．0.85×105km2 D．1.85×105km2
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：370000×=185000=1.85×105，
6
故选D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．（3分）（2016?赤峰）从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出组成的数是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中组成的数是偶数的结果数为4， 所以组成的数是偶数的概率==．
故选A． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 6．（3分）（2016?赤峰）如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150°，∠BCD=30°，则（ ）
A．AB∥BC B．BC∥CD C．AB∥DC D．AB与CD相交 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行即可求解． 【解答】解：∵∠ABC=150°，∠BCD=30°， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥DC． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线的判定，即内错角相等，两直线平行；同位角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行． 7．（3分）（2016?赤峰）一个长方体的三视图如图所示，则这个长方体的体积为（ ）
A．30 B．15
C．45
D．20
7
【分析】易得该长方体长为3，宽为2，高为5，根据长方体的体积=长×宽×高列式计算即可求解．
【解答】解：观察图形可知，该几何体为长3，宽2，高5的长方体， 长方体的体积为3×2×5=30． 故选：A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，得到该几何体长，宽，高是解决本题的突破点． 8．（3分）（2016?赤峰）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π
B．π C．π D．2π
【分析】将下面阴影部分进行对称平移，根据半圆的面积公式列式计算即可求解． 【解答】解：π×12× =π×1× =π．
答：图中阴影部分的面积为π．
故选：B．
【点评】考查了圆的认识，关键是熟练掌握半圆的面积公式，注意对称平移思想的应用．
9．（3分）（2016?赤峰）函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】将一次函数解析式展开，可得出该函数图象与y轴交于负半轴，分析四个选项可知，只有C选项符合，由此即可得出结论．
【解答】解：一次函数y=k（x﹣k）=kx﹣k2， ∵k≠0， ∴﹣k2＜0，
∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．
A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确；
8
B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确； C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以； D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确． 故选C．
【点评】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是分析一次函数图象与y轴的交点．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，由一次函数与y轴的交点即可排除了A、B、D三个选项，因此只需分析一次函数图象即可得出结论． 10．（3分）（2016?赤峰）8月份是新学期开学准备季，东风和百惠两书店对学习用品和工具实施优惠销售．优惠方案分别是：在东风书店购买学习用品或工具书累计花费60元后，超出部分按50%收费；在百惠书店购买学习用品或工具书累计花费50元后，超出部分按60%收费，郝爱同学准备买价值300元的学习用品和工具书，她在哪家书店消费更优惠（ ） A．东风 B．百惠 C．两家一样 D．不能确定
【分析】分析：本题可以直接求出郝爱在两家书店购买学习用品或工具书的钱数，比较一下便可得到答案．
【解答】解：依题意，
若在东风书店购买，需花费：60+（300﹣60）×50%=180（元）， 若在百惠书店购买，需花费：50+（300﹣50）×60%=200（元）． ∵180＜200
∴郝爱同学在东风书店购买学习用品或工具书便宜． 故选：A
【点评】本题是一道简单的实际问题，主要考查有理数的运算和有理数的大小比较，正确应用有理数的运算法则便可得到答案．
二、填空题：每小题3分，共18分
11．（3分）（2016?赤峰）分解因式：4x2﹣4xy+y2= （2x﹣y）2 ．
【分析】符合完全平方公式的特点：两项平方项，另一项为两底数积的2倍，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：4x2﹣4xy+y2， =（2x）2﹣2×2x?y+y2， =（2x﹣y）2．
【点评】本题考查运用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构特点是解题的关键． 12．（3分）（2016?赤峰）数据499，500，501，500的中位数是 500 ．
【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，再根据中位数的概念解答即可． 【解答】解：将该组数据按照从小到大的顺序排列为：499，500，500，501， 可得改组数据的中位数为：
=500，
故答案为：500．
【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9
13．（3分）（2016?赤峰）如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是 8cm ．
【分析】根据切线的性质以及垂径定理，在Rt△BOC中利用勾股定理求出BC，即可得出AB的长．
【解答】解：∵AB是⊙O切线， ∴OC⊥AB， ∴AC=BC，
在Rt△BOC中，∵∠BCO=90°，OB=5，OC=3， ∴BC=
=4（cm），
∴AB=2BC=8cm． 故答案为：8cm．
【点评】本题考查切线的性质、垂径定理．勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于基础题中考常考题型． 14．（3分）（2016?赤峰）下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是 ①②③④ （填序号）
【分析】结合图象根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：根据轴对称图形的概念，可得出①②③④均为轴对称图形． 故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 15．（3分）（2016?赤峰）如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE=30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于
或
cm．
【分析】如图，作DH∥MN，先证明△ADH≌△BAE推出MN⊥AE，在RT△AFM中求出AM即可，再根据对称性求出AM′，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，作DH∥MN，
10
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠DAB=∠B=90°，AB∥CD， ∴四边形DHMN是平行四边形， ∴DH=MN=AE，
在RT△ADH和RT△BAE中，
，
∴△ADH≌△BAE， ∴∠ADH=∠BAE，
∴∠ADH+∠AHD=∠ADH+∠AMN=90°， ∴∠BAE+∠AMN=90°， ∴∠AFM=90°，
在RT△ABE中，∵∠B=90°，AB=，∠BAE=30°， ∴AE?cos30°=AB， ∴AE=2，
在RT△AFM中，∵∠AFM=90°，AF=1，∠FAM=30°， ∴AM?cos30°=AF， ∴AM=
，
，AM′
根据对称性当M′N′=AE时，BM′=故答案为
或
．
【点评】本题科学正方形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 16．（3分）（2016?赤峰）甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转
周，时针和分针第一次相遇．
【分析】直接利用时针和分针第一次相遇，则时针比分针少转了一周，再利用分针转动一周60分钟，时针转动一周720分钟，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设分针旋转x周后，时针和分针第一次相遇，则时针旋转了（x﹣1）周， 根据题意可得：60x=720（x﹣1），
11
解得：x=故答案为：
． ．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意结合时针与分针转动的时间得出等式是解题关键．
三、解答题：共102分
17．（6分）（2016?赤峰）计算：（﹣）1+3tan30°﹣
﹣
+（﹣1）2016．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（﹣）1+3tan30°﹣
﹣
﹣
+（﹣1）2016的值是多少即可．
+（﹣1）2016
【解答】解：（﹣）1+3tan30°﹣=﹣3+3×
﹣3
+1
=﹣3+﹣3+1 =﹣2﹣2 【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值． （3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①ap=
﹣
（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
18．（6分）（2016?赤峰）化简：
÷
并任选一个你认为合理的正整数代入求
值．
【分析】根据分式的除法法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式===﹣
，
×
÷
当a=1时，原式=﹣
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注a的取值保证分式有意义．
12
19．（10分）（2016?赤峰）在平面直角坐标系内按下列要求完成作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．
（1）以（0，0）为圆心，3为半径画圆；
（2）以（0，﹣1）为圆心，1为半径向下画半圆； （3）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，0.5为半径画圆； （4）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，1为半径向上画半圆． （向上、向下指在经过圆心的水平线的上方和下方）
【分析】（1）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可； （2）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可； （3）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可； （4）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可． 【解答】解：（1）如图所示：⊙O，即为所求；
（2）如图所示：半圆O1，即为所求；
（3）如图所示：⊙O2，⊙O3，即为所求；
（4）如图所示：半圆O2，半圆O3，即为所求．
【点评】此题主要考查了复杂作图，根据题意正确结合圆心位置以及半径的长画图是解题关键． 20．（10分）（2016?赤峰）下表是博文学校初三?一班慧慧、聪聪两名学生入学以来10次数学检测成绩（单位：分）． 慧慧 116 124 130 126 121 127 126 122 125 123
13
聪聪 122 124 125 128 119 120 121 128 114 119 回答下列问题：
（1）分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数； （2）分别计算慧慧和聪聪两组数据的方差； （3）根据（1）（2）你认为选谁参加全国数学竞赛更合适？并说明理由；
（4）由于初三?二班、初三?三班和初三?四班数学成绩相对薄弱，学校打算派慧慧和聪聪分别参加三个班的数学业余辅导活动，求两名学生分别在初三?二班和初三?三班的概率． 【分析】（1）把慧慧和聪聪的成绩都减去125，然后计算她们的平均成绩； （2）根据方差公式计算两组数据的方差；
（3）根据平均数的大小和方差的意义进行判断；
（4）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两名学生分别在初三?二班和初三?三班的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）慧慧的平均分数=125+聪聪的平均分数=125+
（﹣9﹣1+5+1+6+2+1﹣3+0﹣2）=125（分），
（﹣3﹣1+0+3﹣6﹣5+6+3﹣11﹣6）=123（分）；
[92+12+52+12+42+22+12+32+02+22]=14.2，
（2）慧慧成绩的方差 S2=聪聪成绩的方差S2=
[12+12+22+52+42+32+82+52+92+42]=24.2，
（3）根据（1）可知慧慧的平均成绩要好于聪聪，根据（2）可知慧慧的方差小于聪聪的方差，因为方差越小越稳定，所以慧慧的成绩比聪聪的稳定，因此选慧慧参加全国数学竞赛更合适一些．
（4）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中两名学生分别在初三?二班和初三?三班的结果数为2， 所以两名学生分别在初三?二班和初三?三班的概率==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了平均数的计算方法和方差的计算． 21．（10分）（2016?赤峰）为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°，C岛在北偏东15°，航行100海里到达B岛，在B岛测得C岛在北偏东45°，求B，C两岛及A，C两岛的距离（留到整数）
≈2.45，结果保
14
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，由等腰直角三角形的性质求出AD的长，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：由题意知：∠BAC=45°，∠FBA=30°，∠EBC=45°，AB=100海里； 过B点作BD⊥AC于点D， ∵∠BAC=45°，
∴△BAD为等腰直角三角形； ∴BD=AD=50，∠ABD=45°； ∴∠CBD=180°﹣30°﹣45°﹣45°=60°， ∴∠C=30°；
∴在Rt△BCD中BC=100≈141海里，CD=50， ∴AC=AD+CD=50+50≈193海里．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 22．（10分）（2016?赤峰）如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的
．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
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【分析】（1）设条纹的宽度为x米，根据等量关系：配色条纹所占面积=整个地毯面积的
，
列出方程求解即可； （2）根据总价=单价×数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解． 【解答】解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得 2x×5+2x×4﹣4x2=解得：x1=
×5×4，
（不符合，舍去），x2=．
答：配色条纹宽度为米． （2）条纹造价：
×5×4×200=850（元）
）×4×5×100=1575（元）
其余部分造价：（1﹣
∴总造价为：850+1575=2425（元） 答：地毯的总造价是2425元． 【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 23．（12分）（2016?赤峰）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求圆的半径及圆心P的坐标； （2）M为劣弧
的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；
（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．
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【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB=10，再利用圆周角定理的推理可判断AB为⊙P的直径，则得到⊙P的半径是5，然后利用线段的中点坐标公式得到P点坐标； （2）根据圆周角定理由
=
，∠OAM=∠MAB，于是可判断AM为∠OAB的平分线；
（3）连接PM交OB于点Q，如图，先利用垂径定理的推论得到PM⊥OB，BQ=OQ=OB=4，再利用勾股定理计算出PQ=3，则MQ=2，于是可写出M点坐标，接着证明MQ为△BON的中位线得到ON=2MQ=4，然后写出N点的坐标． 【解答】解：（1）∵O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）， ∴OA=6，OB=8， ∴AB=
=10，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙P的直径， ∴⊙P的半径是5
∵点P为AB的中点， ∴P（4，﹣3）；
（2）∵M点是劣弧OB的中点， ∴
=
，
∴∠OAM=∠MAB，
∴AM为∠OAB的平分线；
（3）连接PM交OB于点Q，如图， ∵
=
，
∴PM⊥OB，BQ=OQ=OB=4， 在Rt△PBQ中，PQ==
=3，
∴MQ=2，
∴M点的坐标为（4，2）； ∵MQ∥ON， 而OQ=BQ，
∴MQ为△BON的中位线， ∴ON=2MQ=4，
∴N点的坐标为（0，4）．
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【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆周角定理；理解坐标与图形的性质，记住线段的中点坐标公式，会利用勾股定理计算线段的长．此类题目通常解由半径、弦心距和弦的一半所组成的直角三角形．
24．（12分）（2016?赤峰）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=k（x﹣2）的图象交点为A（3，2），B（x，y）． （1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；
（2）若C是y轴上的点，且满足△ABC的面积为10，求C点坐标．
【分析】（1）根据点A（3，2）在反比例函数y=，和一次函数y=k（x﹣2）上列出m和k的一元一次方程，求出k和m的值即可；联立两函数解析式，求出交点坐标；
（2）设C点的坐标为（0，yc），求出点M的坐标，再根据△ABC的面积为10，知×3×|yc﹣（﹣4）|+×1×|yc﹣（﹣4）|=10，求出yC的值即可．
【解答】解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数y=，和一次函数y=k（x﹣2）上； ∴2=，2=k（3﹣2），解得m=6，k=2；
∴反比例函数解析式为y=，和一次函数解析式为y=2x﹣4； ∵点B是一次函数与反比例函数的另一个交点，
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∴=2x﹣4，解得x1=3，x2=﹣1；
∴B点的坐标为（﹣1，6）；
（2）∵点M是一次函数y=2x﹣4与y轴的交点， ∴点M的坐标为（0，﹣4），
设C点的坐标为（0，yc），由题意知×3×|yc﹣（﹣4）|+×1×|yc﹣（﹣4）|=10， 解得|yc+4|=5，
当yc+4≥0时，yc+4=5，解得Yc=1， 当yc+4≤0时，yc+4=﹣5，解得Yc=﹣9， ∴点C的坐标为（0，1）或（0，﹣9）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出两个函数的解析式以及直线AB与y轴的交点坐标，此题难度一般． 25．（12分）（2016?赤峰）如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E． （1）求证：△ABP∽△QEA；
（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA； （3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）
【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质得出函数解析式即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形； ∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°，
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∵QE⊥AP；
∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90° ∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ； ∴△ABP∽△QEA（AA） （2）∵△ABP≌△QEA；
∴AP=AQ（全等三角形的对应边相等）；
在RT△ABP与RT△QEA中根据勾股定理得AP2=32+t2，AQ2=（2t）2 即32+t2=（2t）2
解得t1=，t2=﹣（不符合题意，舍去） 答：当t取时△ABP与△QEA全等． （3）由（1）知△ABP∽△QEA； ∴
=（
）2
∴=（
）2
整理得：y=．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理是解题的关键． 26．（14分）（2016?赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）． （1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式； （2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．
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【分析】（1）利用抛物线和x轴的两个交点坐标，设出抛物线的解析式y=a（x﹣x1）（x﹣x2），代入即可得出抛物线的解析式，再设出直线AC的解析式，利用待定系数法即可得出答案；
（2）先求得抛物线的顶点D的坐标，再设点P坐标（0，Py），根据A，B，D三点在⊙P上，得PB=PD，列出关于Py的方程，求解即可得出P点的坐标；
（3）假设抛物线上存在这样的点Q使直线AQ与⊙P相切，设Q点的坐标为（m，m2﹣4），根据平面内两点间的距离公式，即可得出关于m的方程，求出m的值，即可得出点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）； ∴设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）（x+2）…①， 把C（3，5）代入①得a=1；
∴二次函数的解析式为：y=x2﹣4；
设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0）…② 把A（﹣2，0），C（3，5）代入②得解得
，
，
∴一次函数的解析式为：y=x+2； （2）设P点的坐标为（0，Py）， 由（1）知D点的坐标为（0，﹣4）； ∵A，B，D三点在⊙P上； ∴PB=PD；
∴22+Py2=（﹣4﹣Py）2， 解得：Py=﹣；
∴P点的坐标为（0，﹣）；
（3）在抛物线上存在这样的点Q使直线AQ与⊙P相切． 理由如下：设Q点的坐标为（m，m2﹣4）；
根据平面内两点间的距离公式得：AQ2=（m+2）2+（m2﹣4）2，PQ2=m2+（m2﹣4+）2； ∵AP=，
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∴AP2=
；
∵直线AQ是⊙P的切线， ∴AP⊥AQ；
∴PQ2=AP2+AQ2， 即：m2+（m2﹣4+）2=解得：m1=
+[（m+2）2+（m2﹣4）2]
，m2=﹣2（与A点重合，舍去）
，
）．
∴Q点的坐标为（
【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点还有利用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，一元二次方程，是一道综合性较强的题目，但难度不大，要熟练掌握解题思路和方法．
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历年中考数学模拟试题（含答案）(201)
