高数同济版下
高数（下）小结
一、微分方程复习要点
解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解.
方程 类 型 编号 可分离变量1型 方程 M(x)dx?N(y)dy?0 y???(x)??(y)或 一阶微分方程的解法小结：
一 般 形 式 解 法 备 注 分离变量法 令u?有些方程作代换后可化为1型 有时方程写成yy???()或 xyx或u?化xy2型 齐次方程 xx???() y为1型求解 xxx???()令?u化yy为1型求解 y??P(x)y?Q(x) 1． 常数变易法 2． 凑导数法：同乘 Pdxe? 有时方程不是关于y,y?线性方程，而是3型 线性方程 或 x??P(y)x?Q(y) 关于x,x?线性方程 y??P(x)y?Q(x)y? 令y1???z或 x1??有时方程不是关于y,y?的贝努里方程，4型 贝努里方程 或 x??P(y)x?Q(y)x ??z化为3型求解 而是关于x,x? 贝努里方程 5型 全微分方程
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0u(x,y)?c u(x,y)为原函数 有时乘以一个积分因子可化为5型 其中 ?Q?P ??x?y
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二阶微分方程的解法小结：
类 型 特 征 缺x,y? 缺 求 解 方 法 备 注 求解见上册 降价后是关于p，x的一阶方程 降价后是关于y?n??f?x? n次积分 令y'?p,y\?p'，降为一阶方程
y\?fx,y'?? ? y y?fy,y\?令缺x ''y'?p?y?， p,y的一阶方
'dp降为一阶方程 y?pdy通解y?y?y? 程pdp?f?y,p? dy
y???py??qy?f(x) p,q常y及y?见下表 系数
齐次方程y\?py'?qy?0的通解y为：
判别式 两特征根情况 相异实根r1，r2 二重实根r0 共轭复根r1,2通 解 p2?4q?0 y?c1er1x?c2er2x y??c1?c2x?er0x y?e?x?c1cos?x?c2sin?x? p2?4q?0 p2?4q?0 ???i? ?非齐次方程y???py??qy?f(x)的特解y的形式为：
f?x?的形式 特征根情况 y?的形式 Qm?x?erx ?r是单根k?1?xkQm?x?e?x?? r是二重根k?2???1??2?e?x?Qxcos?x?Q???x?sin?x?mm???1??2?xe?x?Qxcos?x?Q???x?sin?x?mm??r不是特征根 Pm?x?erx r是k重特征根 ??i?不是特征根 e?x?l?x?cos?x?Pn?x?sin?x??P? ??i?
是特征根 - 2 -
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主要:
一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
二、多元函数微分学复习要点
一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法 在求
?z?z时，应将y看作常量，对x求导，在求时，应将x看作常量，对y求导，所运?x?y用的是一元函数的求导法则与求导公式.
2、复合函数的偏导数的求法
设z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，则
?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v????，???? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y几种特殊情况：
1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，则2）z?fdzdz?u?zdv???? dxdu?x?vdx?f?v?x,v?，v???x,y?，则?x??x??v??x，
?z?f?z?f?v?? ?y?u?y3）z?f?u?，u???x,y?则3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况
?zdz?u?zdz?u????， ?xdu?x?ydu?y设z?z?x,y?是由方程F?x,y,z??0唯一确定的隐函数，则
F?z ??x?xFz?Fz?z?0?， ???yFyFz?Fz?0?
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或者视z?z?x,y?，由方程F?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出
2）方程组的情况 由方程组??z?z(或). ?x?y?F?x,y,u,v??0?z?z两边同时对x(或y)求导解出(或)即可.
?x?y?G?x,y,u,v??0二、全微分的求法 方法1：利用公式du??u?u?udx?dy?dz ?x?y?z方法2：直接两边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性：
?z??zdu?dv??v??u dz??
?z?z?dx?dy?y???x三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法
?x???t??1）设空间曲线Г的参数方程为 ?y???t?，则当t?t0时，在曲线上对应点
?z???t???P0?x0,y0,z0?处的切线方向向量为T??'?t0?,?'?t0?,?'?t0?，切线方程为
??
x?x0y?y0z?z0 ???'?t0??'?t0??'?t0?法平面方程为 ?'?t0??x?x0???'?t0??y?y0???'?t0??z?z0??0
2）若曲面?的方程为F?x,y,z??0，则在点P0?x0,y0,z0?处的法向量
?n??Fx,Fy,Fz?P0 ，切平面方程为
Fx?x0,y0,z0??x?x0??Fy?x0,y0,z0??y?y0??Fz?x0,y0,z0??z?z0??0 法线方程为
x?x0y?y0z?z0 ??Fx?x0,y0,z0?Fy?x0,y0,z0?Fz?x0,y0,z0?- 4 -
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若曲面?的方程为z?f?x,y?，则在点P0?x0,y0,z0?处的法向量
?n??fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?1?，切平面方程为
fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0???z?z0??0 法线方程为
x?x0y?y0z?z0 ??fx?x0,y0?fy?x0,y0??1四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法
设函数z?f?x,y?在点P0?x0,y0?的某邻域内具有二阶连续偏导数，由fx?x,y??0，
fy?x,y??0，解出驻点?x0,y0?，记A?fxx?x0,y0?，B?fxy?x0,y0?，
C?fyy?x0,y0?.
C?B1）若A时有极小值.
2） 若AC?B2?0，则f?x,y?在点?x0,y0?处无极值.
3） 若AC?B?0，不能判定f?x,y?在点?x0,y0?处是否取得极值.
22?0，则f?x,y?在点?x0,y0?处取得极值，且当A?0时有极大值，当A?02 条件极值的求法
函数z?f?x,y?在满足条件??x,y??0下极值的方法如下：
1）化为无条件极值：若能从条件??x,y??0解出y代入f?x,y?中，则使函数z?z(x,y)成为一元函数无条件的极值问题.
2）拉格朗日乘数法
作辅助函数F?x,y??f?x,y?????x,y?，其中?为参数，解方程组
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高数下册总结（同济第六版）
