第4章 随机变量的数字特征
一、选择题
1．设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44
2．若随机变量X和Y的协方差Cov?X,Y??0，则以下结论正确的是（ ） (A) X与Y相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X和Y相互独立，且X:N则Z?X?2Y:（ ） ??,??,Y:N??,??，
12122222(A) N?1??2,?12?2?2 (B) N?1??2,?12??2
????22(C) N?1?2?2,?12?4?2 (D) N??1?2?2,?12?4?2?
??4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关的充要条件为
(A) EX=EY (B) E(X)- (EX)= E(Y)- (EY)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(C) E(X)= E(Y) (D) E(X)+(EX)= E(Y)+ (EY)
2
5．设X、Y是两个相互独立的随机变量且都服从于N?0,1?，则Z?max?X,Y?的数学 期望E?Z??（ ） (A) 111 (B) 0 (C) (D) 2??2?6．设X、则E? Y是相互独立且在?0,??上服从于均匀分布的随机变量，?min?X,Y????（ ）
??? (B) ? (C) (D) 2347．设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X和Y（ ）
(A)
(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件 (B) 独立的充分条件，但不是必要条件 (C) 不相关的充分必要条件 (D) 独立的充分必要条件 8．若离散型随机变量X的分布列为PX???1??2?nn ??21?n?1,2,L?，则E?X??（ ）
n(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在
9．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）1
210．设随机变量X和Y独立同分布，具有方差?>0，则随机变量U=X+Y和V=X-Y （A）独立 (B) 不独立 （C） 相关 (D) 不相关
11．随机变量X的方差存在，且E(X)=，则对于任意常数C，必有 。 （A）E(X-C)=E(X)-C （B）E(X-C)=E(X-) （C）E(X-C)< E(X-) （D）E(X-C)12．设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=
2
2
2
2
2
2
2
2
2 E(X-)
2
1, 则P(1 324二、填空题 1．设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为，则 E?X2????????????????? 2．设一次试验成功的概率为p，进行了100次独立重复试验，当p????????????????时，成功的次数的标准差的值最大，其最大值为??????????????? ?1??????X?0?3．设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量Y??0?????X?0，则Y的方差 ??1???X?0?DY=??????????????? 4．D?X??4，D?Y??9，?XY?0.5，则D?X?Y?????????????????，D?X?Y????????????????? 5．设随机变量X服从于参数为?的泊松分布，且已知E???X?1??X?2????1，则 ????????????????? 6．设(X,Y)的概率分布为： Y X 0 1 则cov(X,Y)＝ 。 7．已知P(X?k)?22-1 0 1 a,k(k?1,2,3), 则E(X)= 。 8．X~N（ ， 2 ），Y~N（， 2 ），X与Y相互独立, 则Cov(X+Y, X-Y) =________。 9．随机变量X1,X2,X3相互独立,且都服从均匀分布U(0,2), 令X=3X1-X2+2X3 ,则 E(X)=___________，D(X)＝ 。 10．设ρXY=，Z=，则Y与Z的相关系数为 。 11．设随机变量Xij 独立同分布，EXij=2，则行列式 X11Y?X21?Xn1X12?X1nX2n 的数学期望EY= 。 ?XnnX22??Xn2?三、简答题 1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5。设X为同种遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。 2．已知随机变量?X,Y?服从二维正态分布，且X与Y分别服从正态分布N(1,3)与 21XYN(0,42)，它们的相关系数?XY??，令Z??，⑴求Z的数学期望EZ与方差DZ 232(2) 求X与Z的相关系数?XZ。 3．已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求 （1）乙箱中次品数X的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 4．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望。 5．一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对某种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。商店没售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了供货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。 6．两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差。 7．某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0 x?1?cos,8．设随机变量X的概率密度为f(x)??22?0,?表示观察值大于 0?x??; 对X独立地重复观察4次，用Y其他,?的次数，求Y2的数学期望。 39．设随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差。 10．假设二维随机变量(X, Y)在矩形G={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上服从均匀分布。记 ?0,U???1,?0, V??X?Y,?1,X?Y;X?2Y;X?2Y,。 （1）求(U, V)的概率分布；（2）求U和V的相关系数r。 11.假设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布，随机变量 ?1,X????1,U??1;?1,U?1; Y?? U??1??1,U?1,试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D(X+Y)。 12．设A，B是两个随机事件；随机变量 若A出现;若B出现;?1,?1, Y?? X????1,若A不出现,??1,若B不出现,试证明随机变量X和Y不相关的充要条件是A与B相互独立。 参 考 答 案 一、选择题 1．D 2．B 3．C 4．B 5．C 6．C 7．C 8．D 9．A 10．D 11．D 12．D 二、填空题 1． 2．1/2，5 3．8/9 4．7，19 5．1 6． 7．18/11 8．0 9．4，14/3 10． 11．0 三、简答题 1．解：X服从二项分布B(3,)，其分布律为 X P 其分布函数为 0 1 2 3 2527/125 54/125 36/125 8/125 x?0,?0,?27/125,0?x?1,??F(x)??81/125,1?x?2, ?117/125,2?x?3,??x?3.?1,26X的数学期望为EX?3??. 552．解：⑴因 X:N(1,32),Y:N(0,42),?XY??1XY,Z??232,故有 111EZ?EX?EY?, 3231cov?X,Y??DXDY?XY???3?4??62XY111132142DZ?D(?)?DX?2??cov(X,Y)?DY??2??(?6)??3 329324964XY11321??(?6)?0,?XZ?0 (2)cov?X,Z??cov(X,?)?DX?cov(X,Y)?3232323．解：（1）由题意知，X服从超几何分布，故EX?3?， 33?； 62311C33C32?C32C32?C311（2）又全概率公式，可得p?3??????。 33664C66C6C6
概率论与数理统计第四章测试题
