三、单纯形法的解题步骤 第一步：作单纯形表.
（1）
）
把原线性规划问题化为标准形式；
（2）
）
找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；
（3）
目标函数非基化；
（4）
作初始单纯形表.
第二步：最优解的判定.
(1) 若所有检验数都是非正数，即
， 则此时线性规划问题已取得最优解.
(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无
最优解.
如果以上两条都不满足，则进行下一步. 第三步：换基迭代.
（1）找到最大正检验数，设为 ，并确定 所在列的非基变量
为进基变量.
（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主
元是最大正检验数者； 所在列，用常数项
与进基变量
所对应的列向量中正分量的比值最小
（3）换基：用进基变量替换出基变量 ，从而得到新的基变量基变量进基，所在行的基变量出基；
.也就是主元所在列的非
（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；
（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.
例3 求 .
解（1） 化标准型：令 ，引进松弛变量
，其标准型为
） ）求
（2） 作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，
目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表）.
表
x 1 x2 x3 x4 x5 x 3 1 0 1 0 0 x 4 1 2 0 1 0 常数 5 10 4 5 2 4 3 2 4 x 5 0 （1） 0 0 1 x 3 x 4 1 0 1 0 0 （1） 0 0 1 -2 S′ 1 3 0 0 0 0 x 2 0 1 0 0 1 x 3 x 1 0 0 1 -1 2 1 0 0 1 -2 S′ 1 0 0 0 -3 -12 x 2 0 1 0 0 1 S′ 0 0 0 -1 -1 -14
（3） 最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为
目标函数取得最优值 .
原线性规划问题的最优解为： .目标函数的最优值为14，即 .
例4 用单纯形方法解线性规划问题. 求.
解 此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有
非x1 x2 x3 x4 常数 基化.从约束方程找出 ， , 代
x3 x4 1 -1 1 0 -3 (1) 0 1 2 3 0 0 -2 0 1 1 -3 1 0 1 11 0 0 -3 2 4 0 6 4 12 入目标函数
,
整理后，目标函数非基化了.
作单纯形表，并进行换基迭代（见表）.
S 经
x3 x2 S 最大检验数 ，由最小比值法知： 为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量 出基，非基变量 进基.
表
目前最大检验数 ，其所
在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解. 例5用单纯形方法解线性规划问题. 求
此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取为基变量，而解
目标函数没有非基化.从约束方程找出
， ,
代入目标函数，经整理得
,
目标函数已非基化.
作单纯形表，并进行换基迭代(见表.
最大检验数 ，由最小比值法知： 为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出
基，非基变量x2进基，先将主元 化为1，然后再将主元所在列的其他元素化为零.
表
x 3 x 4 x 1 x2 x3 x4 -2 （2） 1 0 3 1 0 1 -2 2 0 0 常数 4 6 10 S x 2 -1 1 0 x 4 4 0 - 1 2 4 6 S’ 0 0 -1 0
至此，检验数均为非正数，故得基础可行解 .
原问题的最优解为：.
最优值为6，即 .
如果我们再迭代一次，将基变量 出基，非基变量 进基（见表）.
表
x1 x2 x3 x4 x2 -1 1 0 常数 2 4 6 3 1 6 x4 （4） 0 1 S’ 0 0 -1 0 x2 x1 S’ 0 1 1 0 0 0 －1 0 可得到另一个基础可行解
,
原问题的最优解为：，最优值仍为6，说明该线性规划问题有无穷多最优解，其最优解均
为6.
如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢
这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0，我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个.
单纯形法的解题步骤
