2020-2021中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合含详细答案
一、圆的综合
1．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线．
【答案】画图见解析. 【解析】
【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线. 【详解】解：画图如下：
【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.
2．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE . （1）求证：直线PD是⊙A的切线； （2）若PC=25，sin∠P=
2，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）． 3
【答案】（1）见解析；（2）20-4π.
【解析】
分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可. （2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可. 详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°， ∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°， 又PD=BC，∴AD=PD， ∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD， ∵CD=AB，且AB是⊙A的半径， ∴AH=AB,即AH是⊙A的半径， ∴PD是⊙A的切线.
（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=
CD2?，PC=25 ， PD3令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(25)2， 解得：x=2，∴CD=4，PD=6， ∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2， ∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为 扇形ABE的面积为
1×4×2=4， 21π×42=4π， 2∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.
点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.
3．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，﹣1），点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧． （1）求菱形ABCD的周长；
（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求： ①t的值； ②∠MBD的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值．
【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=6﹣3或6+【解析】
3． 3分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；
（2）①如图2，先根据坐标求EF的长，由EE'﹣FE'=EF=7，列式得：3t﹣2t=7，可得t的值；
②先求∠EBA=60°，则∠FBA=120°，再得∠MBF=45°，相加可得：∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；
（3）分两种情况讨论：作出距离MN和ME，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD为⊙M的切线，由BC是⊙M的切线，得∠MBE=30°，列式为3t+3=2t+6，解出即可； 第二种情况：如图6，同理可得t的值． 详解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E．
∵点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣3，0），∴AE=3，BE=3﹣2=1，∴AB=2?12=2． AE2?BE2=（3） ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，∴菱形ABCD的周长=2×4=8； （2）①如图2，⊙M与x轴的切点为F，BC的中点为E． ∵M（3，﹣1），∴F（3，0）．
∵BC=2，且E为BC的中点，∴E（﹣4，0），∴EF=7，即EE'﹣FE'=EF，∴3t﹣2t=7，t=7；
②由（1）可知：BE=1，AE=3， ∴tan∠EBA=
AE3==3，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°． BE111∠FBA=?120?=60°． 22 ∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD= ∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．
∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形， ∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；
（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况： 第一种情况：如图5．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°． ∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线． ∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°．
∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3； 第二种情况：如图6．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°． ∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线． ∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°． ∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=∴3t=2t+6+
ME13=，EB=，
BEtan60?333，t=6+； 333． 3 综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+
点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．
4．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．
（1）当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；
（2）若tan?AED?3 ，求AE的长； 2（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值.
【答案】（1）SADE?62；（2）AE?165；（3）m?23 ，m?22，5m?7?1.
【解析】 【分析】
（1）作EH⊥AB，连接OE，EB，设DH＝a，则HB＝2﹣a，OH＝2+a，则EH＝OH＝2+a，根据Rt△AEB中，EH2＝AH?BH，即可求出a的值，即可求出S△ADE的值；
AFAD?，EFBD得出AF＝6x，再利用Rt△AFD中，AF2+DF2＝AD2，即可求出x，进而求出AE的长； （3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m的值. 【详解】
解：（1）如图，作EH⊥AB，连接OE，EB， 设DH＝a，则HB＝2﹣a，OH＝2+a， ∵点E是弧BC中点， ∴∠COE＝∠EOH＝45°， ∴EH＝OH＝2+a，
在Rt△AEB中，EH2＝AH?BH， （2+a）2＝（6+a）（2﹣a），
（2）作DF⊥AE，垂足为F，连接BE，设EF＝2x，DF＝3x，根据DF∥BE故解得a＝?22?2， ∴a＝22?2， EH=22，
S△ADE＝nADnEH?62;
12
（2）如图，作DF⊥AE，垂足为F，连接BE
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