欧阳体创编 2021.02.03 欧阳美创编 2021.02.03
第二类曲面积分的计算方法
时间：2021.02.03 创作：欧阳体 赵海林 张纬纬
摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影
法，高斯公式，Stokes公式，积
分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联
系等方法进行求解.
关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes公式 向量计算形 式 1 引言
曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二
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型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识
2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景)
设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为
v(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k,
∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量?.
若?为平面上面积为S的区域，而流速v是常向量，?指定侧的
单位法向量n?cos?i?cos?j?cosk
则
若?为曲面，流速v不是常向量，则用下面的方法计算流量?. (1) 分割
将?任意分成小块?Si(i?1,2…,n),?Si同时代表其面积.
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(2) 近似
?Mi(?i,?i,?i)??Si，以点Mi处的流速vi?v(Mi)和单位法向量ni分别代替?Si上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过?Si指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 2.1.2 定义
的面积，他们的符号由Si的方向来确定.若Si的法线正向与z轴正向成锐角时,Si在xoy平面的投影区域的面积?Sixy为正.反之,若Si法线正向与z轴正向成钝角时,他在平面的投影区域xoy的面积?Sixy为负在各个小曲面.Si上任取一点(?i,?i,?i)n.
若
limT?0?P(??,?)?Sii,iii?1yz?limT?0?Q(??,?)?Si,iini?1izx?limT?0?R(??,?)?Si存
i,iini?1xy在， 或者
??P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx???R(x,y,z)dxdy.
SSS据此定义，某流体以速度在单位时间内从曲面S的负侧流向正侧的总流量为
2．2 第二型曲面积分的性质
性质1 (方向性) 设向量值函数v在定向的光滑曲面S上的第二型曲面积分存在.记?S为与S取相反侧的曲面，则v在
?S上的第二型曲面积分也存在，且成立
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第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分之欧阳体创编
