第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式(组) Ax＋By＋C>0(<0) Ax＋By＋C≥0(≤0) 不等式组 2.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
3．线性规划的有关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量x，y组成的不等式(组) 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y 关于x，y的一次函数解析式 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( ) (2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )
(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )
(5)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× [教材衍化]
表示区域 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 包括边界直线 各个不等式所表示平面区域的公共部分 1
y≤x，??
1．(必修5P91练习T1(1)改编)已知x，y满足约束条件?x＋y≤1，则z＝2x＋y＋1的最
??y≥－1，大值、最小值分别是________，________．
解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(－11?
1，－1)，B(2，－1)，C??2，2?，画直线l0：y＝－2x，平移l0过点B时，zmax＝4，平移l0过点A时，zmin＝－2.
答案：4 －2
2．(必修5P91练习T2改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)
解析：用表格列出各数据
产品吨数 资金 场地 A x 200x 200x B y 300y 100y 总数 1 400 900 所以不难看出，x≥0，y≥0，200x＋300y≤1 400，200x＋100y≤900. 200x＋300y≤1 400，
??200x＋100y≤900，答案：?
x≥0，??y≥0[易错纠偏]
(1)不会用代点法判断平面区域；
(2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．
1．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是__________．
解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点2
(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞.
3
2?答案：??3，＋∞?
2
x＋y≤1，??
2．已知变量x，y满足约束条件?x≥0，则z＝x－y的最大值为________．
??y≥0，解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x－y＝0，平移直线经过点A(1，0)时，目标函数z＝x－y取得最大值，最大值为1.
答案：1
x－y＋5≥0，??y－1
3．已知x，y满足条件?x＋y≥0，则z＝的最大值为________．
x＋3
??x≤3，解析：作出可行域如图中阴影部分所示，问题转化为区域上哪一点55
－，?，使kMA最大，zmax与点M(－3，1)连线斜率最大，观察知点A??22?5
－12
＝kMA＝＝3.
5－＋32
答案：3
x－y＋5≥0，??
4．已知x，y满足?x＋y≥0，若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a
??x≤3，的值为________．
解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，所以－a＝kAB＝1，所以a＝－1.
答案：－1
二元一次不等式(组)表示的平面区域
x≥0，??
(1)不等式组?x＋3y≥4，所表示的平面区域的面积等于( )
??3x＋y≤43
A. 24C. 3
2B. 33D. 4
3
高考数学一轮总复习第七章二元一次不等式及简单的线性规划问题
