“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．设a?2?3?2?3，则a?1的整数部分为（ ） aA．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B
【解答】由a2?2?3?22?3?2?3?2?3?6，知a?6。 于是a?111111?6?，(a?)2?6?2??8?，4?(a?)2?9。 aa66a6因此，a?1的整数部分为2。 a（注：a?2?3?2?3?2．方程2x?(4?234?233?13?1????6） 2222x2)?3的所有实数根之和为（ ） x?2A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】 A 【解答】方程2x?(x2)?3化为2x(x?2)2?x2?3(x?2)2。 x?2即x3?5x2?10x?6?0，(x?1)(x2?4x?6)?0。 解得x?1。经检验x?1是原方程的根。 ∴ 原方程所有实数根之和为1。
3．如图，A、B、C三点均在二次函数y?x2的图像上，M为线段AC的中点，BM∥y轴，且MB?2。设A、C两点的横坐标分别为t1、t2（t2?t1），则t2?t1的值为（ ）
A．3 B．23 C．?22 D．22 【答案】 D
2t1?t2t12?t2，)。 【解答】依题意线段AC的中点M的坐标为(22（第3题）
2t1?t2t12?t2，?2)。 由BM∥y轴，且BM?2，知B点坐标为(222t12?t2t?t?2?(12)2。 由点B在抛物线y?x上，知22222?8?t12?2t1t2?t2整理，得2t12?2t2，即(t2?t1)2?8。
结合t2?t1，得t2?t1?22。
4．如图，在Rt△ABC中，?ABC?90?，D为线段BC的中点，E在线段AB内，CE与AD交于点F。若AE?EF，且AC?7，FC?3，则cos?ACB的值为（ ）
2101033A． B． C． D．
77714AEFC（第4题）
【答案】 B
【解答】如图，过B作BK∥AD与CE的延长线交于点K。 则由AE?EF可得，?EBK??EAF??AFE??BKE。 ∴ EK?EB。
又由D为BC中点，得F为KC中点。 ∴ AB?AE?EB?FE?EK?KF?FC?3。 ∴ BC?AC2?AB2?72?32?210。 ∴ cos?ACB?BC210?。 AC7BDAKEFC或解：对直线AFD及△BCE应用梅涅劳斯定理得，
BDCFEA???1。 DCFEABBD由D为线段BC的中点，知BD?DC。 又AE?EF，因此，AB?CF?3。
结合AC?7，?ABC?90?，利用勾股定理得，BC?210。 所以，cos?ACB?
BC210?。 AC75．如图，O为△ABC的外接圆的圆心，R为外接圆半径，且R?4。直线AO、BO、CO分别交△ABC的边于D、E、F，则
111的值为（ ） ??ADBECFAFE1112A． B． C． D．
3423【答案】 C
【解答】由条件及等比定理，得
OAS△OABS△OACS△OAB?S△OACS△OAB?S△OAC????， ADS△ABDS△ACDS△ABD?S△ACDS△ABCOBD（第5题）
C同理，∴
OBS△OAB?S△OBCOCS△OBC?S△OAC??，。 BES△ABCCFS△ABCOAOBOC(S△OAB?S△OAC)?(S△OAB?S△OBC)?(S△OBC?S△OAC)????2。 ADBECFS△ABC又OA?OB?OC?R?4， ∴
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．记函数y?x2?2x?3（?1?x?2）的最大值为M，最小值为m，则M?m的值为 。
【答案】 8
【解答】∵ y?x2?2x?3?(x?1)2?2，?1?x?2，
∴ x?1时，y取最小值，即m?2；x??1时，y取最大值，即M?6。 ∴ M?m?8。
7．已知二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图像与x轴交于不同的两点A、B， C为二次函数图像的顶点，AB?2。若△ABC是边长为2的等边三角形，则a? 。
【答案】
3
11121????。 ADBECFR2【解答】依题意ax2?bx?c?0有两个不同的实根，设为x1，x2，则AB?x1?x2?2。
bc∵ x1?x2??，x1x2?，
aab2cb2?4ac22?4b?4ac?4a∴ (x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?)?4??，即。 2aaa22b2b2b2?c，?c??3，又由y?ax?bx?c?a(x?)?及a?0，知?即b2?4ac?43a。
2a4a4a2∴ 4a2?43a，a?3。
8．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，M为线段BC的中点，且
?BAD??DAM??MAC。若AB?2，则△ABC内切圆的半径为 。
【答案】
3?1
【解答】依题意，易知D为BM中点，又AM平分?DAC， ∴
DM1?。 MC2ABCADMD1 ??。结合AD?DC，得?ACD?30?。
ACMC2DM（第8题）
∴ ?DAC?60?，?BAC?90?。 ∴ AC?23，BC?4。 ∴ △ABC内切圆半径为
9．若二次函数y?x2?(4a?3)x?3a（a?2?23?4?3?1。 22）的图像与直线y?2?x在y轴左侧恰有13个交点，则符合条件的所有a的值的和为 。
【答案】
29 12【解答】依题意，关于x的方程x2?(4a?3)x?3a?2?x，即x2?(4a?2)x?3a?2?0恰有1个负根或者两个相等的负根。
有下列三种情形：
（1）方程有两个相等的负根。
?△?(4a?2)2?4(3a?2)?032则?，解得a?1或a?。均满足a?。
43?x1?x2??(4a?2)?0因此，a?1，a?3符合要求。 4（2）方程两根中一根为零，另一根为负数。
?x1x2?3a?2?022则?，解得a?。满足a?。
33?x1?x2??(4a?2)?0因此，a?2符合要求。 3（3）方程两根中一根为正数，另一根为负数。 则x1x2?3a?2?0，解得a?22。不满足a?。 3332，。 43综合（1）、（2）、（3），得符合条件的a的值为1，
3229因此，符合条件的所有a的值的和为1???。
4312
10．若正整数n恰有90个不同的正因数（含1和本身），且在n的正因数中有7个连续整数，则正整数n的最小值为 。
【答案】 25200
【解答】∵ 任意连续7个正整数的乘积能被1?2?3?4?5?6?7整除， ∴ n的正因数中必定有22，3，5，7这四个数。 ∴ 正整数n具有形式：n?2?1?3?2?5?3?7?4?2，?4为正整数，?1?2）?3，?L（?1，。
由正整数n恰有90个正因数，知(?1?1)(?2?1)(?3?1)(?4?1)?k?90，其中k为正整数。 而90分解为4个大于1的正整数的乘积的分解式只有一种：90?2?3?3?5。 ∴ k?1，(?1?1)(?2?1)(?3?1)(?4?1)?90?2?3?3?5。
∴ n的最小值为24?32?52?7?25200，此时n有连续正因数1，2，3，4，5，6，7。
大梦杯福建省初中数学竞赛试题
