ππ
课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝sin?2x＋?＋cos?2x＋?，则( )
??4?4?
ππ
A．y＝f(x)在?0，?单调递增，其图像关于直线x＝对称
?2?4
π?π
B．y＝f(x)在?0，单调递增，其图像关于直线x＝对称
?2?2
ππ
C．y＝f(x)在?0，?单调递减，其图像关于直线x＝对称
?2?4
π?π
D．y＝f(x)在?0，单调递减，其图像关于直线x＝对称
?2?2
ππ?
课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] D 【解析】 f(x)＝2sin?2x＋＋＝2?44?
π?
sin?2x＋＝2cos2x， ?2?
π
所以y＝f(x)在?0，?内单调递减，
?2?π
又f??＝2cosπ＝－2，是最小值．
?2?
π
所以函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
2
π?
课标理数6.C4[2011·山东卷] 若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间?0，在区间
?3?上单调递增，
?π，π?上单调递减，则ω＝( ) ?32?
32
A．3 B．2 C. D. 23
π
课标理数6.C4[2011·山东卷] C 【解析】 本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx≤2
ππ
时，函数f(x)是增函数，当≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，即当0≤x≤时函数f(x)为增
22ω
ππππ3
函数，当≤x≤时，函数f(x)为减函数，所以＝，所以ω＝. 2ωω2ω32
π?
课标文数6.C4[2011·山东卷] 若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间?0，在区间
?3?上单调递增，
?π，π?上单调递减，则ω＝( ) ?32?
23
A. B. C．2 D．3 32
π
课标文数6.C4[2011·山东卷] B 【解析】 本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx≤2
ππ
时，函数f(x)为增函数，当≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，即当0≤x≤时，函数f(x)
22ω
ππππ3
为增函数，当≤x≤时，函数f(x)为减函数，所以＝，所以ω＝.
2ωω2ω32
课标数学9.C4[2011·江苏卷] 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部
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ππ又因为|φ|<，所以φ＝.
24
π?
所以f(x)＝2sin?2x＋＝2cos2x，
?2?
π?
所以f(x)＝2cos2x在区间?0，
?2?上单调递减．
分图象如图1－1所示，则f(0)的值是________．
图1－1
课标数学9.C4[2011·江苏卷]
67ππ? 【解析】 由图象可得A＝2，周期为4×??12－3?＝π，2
7π?代入得2×7π＋φ＝2kπ＋3π，即φ＝2kπ＋π，所以f(0)＝2sinφ＝所以ω＝2，将?，－2?12?1223
π62sin＝.
32
课标文数7.C4[2011·天津卷] 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.
π
若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
2
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
2π11ππ
课标文数7.C4[2011·天津卷] A 【解析】 ∵＝6π，∴ω＝.又∵×＋φ＝2kπ＋，k
ω3322
∈Z且－π<φ≤π，
π1π?π1ππ
∴当k＝0时，φ＝，f(x)＝2sin?x＋，要使f(x)递增，须有2kπ－≤x＋≤2kπ＋，?33?32332
5ππ5π5π?k∈Z，解之得6kπ－≤x≤6kπ＋，k∈Z，当k＝0时，－π≤x≤，∴f(x)在?－π，
?22?上2222
递增．
2π
课标文数18.C4[2011·浙江卷] 【解答】 (1)由题意得，T＝＝6.
π3
π?的图象上， 因为P(1，A)在y＝Asin?x＋φ?3?
π?所以sin??3＋φ?＝1，
π
又因为0＜φ＜，
2π
所以φ＝.
6
(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．
ππ3π
由题意可知x0＋＝，得x0＝4，所以Q(4，－A)．
362
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2π
连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝，由余弦定理得
3
2222
RP＋RQ－PQA＋9＋A2－?9＋4A2?1
cos∠PRQ＝＝＝－，
22RP·RQ22A·9＋A解得A2＝3，
又A＞0，所以A＝3. 第 13 页 共 39 页
π
课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f(x)＝4cosxsin?x＋?－1
?6??31?－1
＝4cosxsinx＋cosx?2?2＝3sin2x＋2cos2x－1 ＝3sin2x＋cos2x
π
＝2sin?2x＋?，
?6?所以f(x)的最小正周期为π.
ππππ2π
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤. 64663
πππ
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
626
πππ
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
666
π?课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝4cosxsin?x＋?6?－1. (1)求f(x)的最小正周期；
ππ
(2)求f(x)在区间?－，?上的最大值和最小值．
?64?π?课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f(x)＝4cosxsin?x＋
?6?－1
＝4cosx?3sinx＋1cosx?－1
?2?2
＝3sin2x＋2cos2x－1 ＝3sin2x＋cos2x
π?＝2sin?2x＋.
?6?所以f(x)的最小正周期为π.
ππππ2π
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤. 64663
ππππππ
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)
626666
取得最小值－1.
大纲理数17. C5，C8[2011·全国卷] △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A－C＝90°，a＋c＝2b，求C.
大纲理数17.C5，C8[2011·全国卷] 【解答】 由a＋c＝2b及正弦定理可得 sinA＋sinC＝2sinB. 又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故 cosC＋sinC＝2sin(A＋C) ＝2sin(90°＋2C) ＝2cos2C.
22
故cosC＋sinC＝cos2C， 22
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π?课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝4cosxsin?x＋?6?－1. (1)求f(x)的最小正周期；
ππ?(2)求f(x)在区间?－
?6，4?上的最大值和最小值．
cos(45°－C)＝cos2C. 因为0° 课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________． 课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 27 【解析】 因为B＝60°，A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°， 由正弦定理，有 ABBCAC3 ＝＝＝＝2， sinCsinAsinBsin60°所以AB＝2sinC，BC＝2sinA. 所以AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin(120°－A)＋4sinA ＝2(sin120°cosA－cos120°sinA)＋4sinA ＝3cosA＋5sinA 35 ＝27sin(A＋φ)，(其中sinφ＝，cosφ＝) 2727所以AB＋2BC的最大值为27. ππ 课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝sin?2x＋?＋cos?2x＋?，则( ) ??4?4? ππ A．y＝f(x)在?0，?单调递增，其图像关于直线x＝对称 ?2?4 ππ B．y＝f(x)在?0，?单调递增，其图像关于直线x＝对称 ?2?2 π?π C．y＝f(x)在?0，单调递减，其图像关于直线x＝对称 ?2?4 π?π D．y＝f(x)在?0，单调递减，其图像关于直线x＝对称 ?2?2 ππ? 课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] D 【解析】 f(x)＝2sin?2x＋＋＝2?44? π? sin?2x＋＝2cos2x， ?2? π?所以y＝f(x)在?0， ?2?内单调递减， π?又f??2?＝2cosπ＝－2，是最小值． π 所以函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称． 2 课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. π (1)若sin?A＋?＝2cosA, 求A的值； ?6?1 (2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值． 3 课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力． ππ 【解答】 (1)由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从而sinA＝3cosA，所以cosA≠0， 66π tanA＝3，因为0＜A＜π，所以A＝. 3 1 (2)由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA， 3 第 15 页 共 39 页
[数学]2012新题分类汇编：三角函数（高考真题+模拟新题）
