高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库附带答案
第三章 微分中值定理与导数的应用
一、选择题
1、设 f(x0)?0 ，f?(x0)?0 ，f??(x0) 存在 ，且 f??(x0)?f(x0)??1, 则（ ）
(A)x0是f(x)的极大值点 (B)x0是f(x)的极小值点 (C)x0不是f(x)的极值点 (D)不能断定x0是否为极值点
2、函数 y?f(x) 在点 x?x0 处连续且取得极大值，则 f(x) 在 x0 处必有（ ）
(A) f'(x0)?0 (B) f??(x0)?0 (C) f(x0)?0 且 f??(x0)?0 (D) f'(x0)?0 或不存在
3、y?xe?x 的凸区间是（ ）
(A) (?? , 2) (B) (?? , ?2) (C) (2 , ??) (D) (?2 , ??)
4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）
sinx (A)f(x)? (B)f(x)?(x?1)2 (C)f(x)?x 3 (D)f(x)?x2?1
x25、设f (x) 和g (x) 都在x=a处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、使函数 y?3 x2(1?x2) 满足罗尔定理的区间是（ ）
(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) [?7、y?x e? 2 x的凹区间是（ ）
(A)(??,2) (B) (??,?2) (C) (1 ，??) (D) (?1 ，??)
8、函数f(x)在x?x0 处连续，若x0为f(x)的极值点，则必有（ ） ． (A)f?(x0)?0 (B)f?(x0)?0 (C)f?(x0)?0或f?(x0)不存在 (D)f?(x0)不存在 9、当a= ( ) 时，f(x)?asinx? sin3x ? 在 x ? 处取到极值（ ） 33?(A) 1 (B) 2 (C) (D) 0
3 34,] 5 5 10、使函数 f(x)?3 x2(1?x2) 适合罗尔定理条件的区间是（ ）
(A) [0,1] (B) [?1,1] (C) [?2,2] (D) [?11、若 ?x0，f(x0)? 为连续曲线 y?f(x) 上的凹弧与凸弧分界点，则（ ）
34,] 5 5 (A) (x0，f(x0)) 必为曲线的拐点 (B) (x0，f(x0)) 必定为曲线的驻点
(C) x0 为 f(x) 的极值点 (D) x0 必定不是 f(x) 的极值二、填空题 1、曲线y?e? x28的凸区间是__________________．
2、函数 y?x 2x 的极小值点是______________．
ex 的凸区间为 _____________________ ． 3、曲线 y? 3?x 1 / 121 / 12
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4、函数f（x）＝x3?x在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点?＝ ． 5、设曲线y＝ax3?bx2以点（1，3）为拐点，则数组（a，b）＝ ． 6、函数y?x3?3x?1在区间 [?2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 y?lnsinx在 [
? 5? ] 上的罗尔中值点?= ． , 6 68、y? x ?1在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、函数 y?x 2x 的极小值点是______________． 10、函数 y?x?2x 的极小值点是______________。 11、y＝x＋ 1?x ，－5?x?1 的最小值为 ． 12、y?x?x 的单调减区间是 ． 13、y?x?arctan x 在且仅在区间______________上单调増． 14、函数f(x)＝x＋2cosx在区间 [ 0 ,
?] 上的最大值为 ． 2 15、函数y＝2x3?x2?4x?3 的单调减少区间是 ．
16、已知点（1，3）是曲线 y?ax3?bx2 的拐点，则a= ，b= ． 17、f(x)?2 ex?e?x 的单调递减区间为 . 三、计算题
1、求函数 y?x3?6x2?9x?4 的极值和单调区间。 2、求极限 lim(x?11x?)． lnx x?1 3、求函数y＝2x3?x2?4x?3的单调区间、凹凸区间、拐点． 4、设常数k?0，试判别函数f(x)?lnx?5、求函数 y?x3?6．lim( x?0x?k在?0,???内零点的个数． e32。 x?6x?10 的单调区间和极值．
211 ? x )． x e - 1 7．求函数 y? 5?4x 在 ??1 , 1? 上的最大值与最小值． 8．求曲线y?lnx的单调区间和凹凸区间.． x9. 求曲线y?2x3?x2?4x?3的单调区间和凹凸区间. 10．求函数 y?xe?x 图形的凹凸区间及拐点．
x?t2 11、求曲线 { 的拐点.
y?3t?t312、求函数 y ? x3?6x2?9x?4 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．
4? 上的最大值、最小值． 13、求函数 y?2x3?6x2?18x?27 在 ?1，14、讨论函数 f(x)?ln (1?x2) 的单调性和凹凸性
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15、讨论函数 f(x)? lnx 的单调性和凹凸性． x16、 求曲线 y?ln(1?x2)的凹凸区间和拐点．
17. 求函数y?x?8x?2在区间[?1,3]上的最大值与最小值． 18. 求函数 y?x342?3x?1 在区间 [-2，0]上的最大值和最小值．
19. 试确定常数a、b 、c 的值，使曲线 y?x3?ax2?bx?c 在x= 2处取到极值，且与直线 y??3x?3 相切于点（1 ，0）．
四. 综合题(第1-2题每题6分，第3题8分，总计20分)
?1．证明：当x?(0,)时，x?(sinx)(cosx) ．
22、当 x?0 时， 1?xln (x? 1?x2 )? 1?x2 ． 3、证明： arctanx?arccotx??2．
(x0)?? (0)． 4、设 ? (x) 在 [0,1] 上可导，f(x)＝(x－1)? (x)，求证：存在x0?(0，1)，使f ’5、 试用拉格朗日中值定理证明：当 a?b?0 时，
a?baa?b?ln? ． abb 6、 证明：当x?0时，ln(1?x)?arctanx．
1?x7、 证明：当 x?0 时, x?ln(1?x)?x． 1 ?x8、证明：当x>0时，有 1+
1x? 1?x ． 2 x3?sinx． 9、证明当 x?0 时，x?6
x ． 1?x 10、 证明：若x? 0 ，则 l n ( 1?x ) ? x2?ln(1?x) 11、证明：当 x?1 时，x?212、证明：多项式
f(x)?x3?3x?1在 [ 0，1 ] 内不可能有两个零点．
1. x 13、证明当 x?1 时， 2 x ?3??14、证明：当 0?x? 时 x?sinxcosx
2
答案： 一、选择
1、A 2、D 3、A 4、D 5、D 6、B 7、A 8、C 9、B 10、A 11、A 二、填空 1、[?2,2]
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