贵州师范大学数学与科学系
数学教育（师范类）专业2001级毕业论文选题登记表
（代开题报告）
姓 名 论文题目 指导教师 韦达定理在解题中的应用 立题依据、研究内容、写作计划、主要参考书目 立题依据：1. 韦达定理是研究一元二次方程的主要工具 2. 韦达定理的应用贯穿整个中学内容 3. 从学生的学习情况来看，由于韦达定理的应用比较灵活、多变，要较好的掌握十分困难 研究内容：1. 什么时候可以应用到韦达定理 2. 怎样运用韦达定理简化解题 写作计划：1. 作为一个教学，对数学家韦达应有所了解 2. 韦达定理的探究、推广 探究：主要针对一元二次方程 推广：到一元n次方程 3. 韦达定理的应用(一元二次方程的应用、高次方程的应用) 主要参考书目：初三数学教学、高中有关习题、数学史…. 指导老师意见：
贵州师范大学
本科学生毕业论文（设计）
题目：韦达定理在解题中的应用
学院：数学与计算机科学学院
专业：数学与应用数学
年级：2001级
学生姓名： 指导教师： 论文字数：3250个
完成日期：2005年 3月
20 日
韦达定理在解题中的应用
摘要：韦达定理（及其逆定理）是中学数学中的一个重要定理；它的应用贯穿在中学数学内容之中；在解决方程、三角、几何等问题中有着广泛的应用；本文主要介绍实数范围内韦达定理在一元二次方程中的应用。
关键词：方程、应用
(Maths and Computer science department、Guizhou Normal University、Guiyang、Guizhou、China、550001) Abstract: Veda Theory is an important theory of Maths in Middle school; And it is used in many parts of Middle Maths, solving problems of equation、triangle、 geometry and so on. This essay introduces in real the use of Veda Theory in quadratic equation. Keyword: equation、application.
韦达定理（及其逆定理）是初中课程中的重要定理，不仅在初中，就是在高中解题时都经常会用到它。鉴于它应用的灵活性，在解决有关方程、三角、几何等问题中都有着广泛的应用。一些问题，可以运用韦达定理直接求解。比如：已知方程，求两根的和与积；已知一元二次方程的一个根，求另一个根与未知系数等等。另一些问题，初看起来没有方程的影子，也不是两数之和与两数之积问题，没有直接运用韦达定理的条件。但是，经过适当的变形或转化以后，就显出了一元二次的影子，或者变成两数之和与两数之积的问题了，于是可以运用韦达定理（及其逆定理）来求解。下面介绍韦达定理及其应用：
一．韦达定理及其逆定理
定理：如果一元二次方程ax+bx+c=0(a、b、c为常数，a不为零)的两个根为x1、x2， 则x1+x2=
2
?bc，x1x2=. aa?bc?b???b??，x2=(△=b2-4ac)，那么x1+x2=，x1x2=.
aa2a2a这个定理是由法国数学家韦达研究和推广的，所以叫韦达定理。推导：我们可以通过 求根公式求出x1=
注：在实数范围内应用韦达定理，必须注意??0这个前提条件，而应用判别式的前提是方程必须
是一元二次方程。即二次项系数a?0。因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含??0和a?0两个条件。但该定理不仅在实数范围内成立，可以证明，它在复数范围内仍成立。 逆定理：如果x1+x2=
?bc，x1x2=，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a不为零)aa的两个根是x1、x2。
bc2
证明：ax+bx+c=0（a?0）?x2?x??0
aabc ?x2?(?x)??0
aa?x2?(x1?x2)x?x1x2?0 ?(x?x1)(x?x2)?0
∴x1，x2为ax2+bx+c=0（a?0）的两个根。
韦达定理还可以推广到一元高次方程的情况，即如果一元n次方程
在复数集中的根是，那么
二．应用
1．关于一元二次方程的简单应用
（1）检验方程的根
即不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系可以检验两个数是不是某个一元二次方程的两根；
例1：假设x1、x2是方程x-(a+d)x+ad-bc=0的根，证明x1，x2是方程
y2-(a3+d3+3adc+3bcd)y+(ad-bc)3=0的根。 证明：由已知条件得x1+x2=a+d，x1x2=ad-bc；
2
3
3
∴x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)= a3+d3+3adc+3bcd, x13x23=(x1x2)3=(ad-bc)3。由韦达定理逆定理可知，
x13，x23是方程y2-(a3+d3+3adc+3bcd)y+(ad-bc)3=0的根。
（2）由已知方程的一个根，求另一个根及未知系数；
（3）不解方程，可以利用一元二次根与系数的关系求关于x1、x2的代数式的值。比如：|x1-x2|、
11?等等。 x1x2（4）已知两根，求作一元二次方程； （5）已知两数的和与积，求这两个数；
（6）已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值； （7）证明方程系数之间的特殊关系；
（8）解决其它问题。如讨论根的范围、判定三角形的形状等； （9）根的符号的讨论。、
利用一元二次方程根与系数的关系还可以进一步讨论根的符号。设一元二次方程的两根为x1、x2，1）若△≥0、且x1x2＞0,则两根同号；
若△≥0、且x1x2＞0，x1+x2＞0则两根同为正数
若△≥0、且x1x2＞0，x1+x2＜0则两根同为负数 2）若△＞0、且x1x2＜0,则两根异号；
若△＞0、且x1x2＜0，x1+x2＞0时，则两根异号且正根的绝对值较大 若△＞0、且x1x2＜0，x1+x2＜0时，则两根异号且负根的绝对值较大
2．解方程组
a?b?c?3 例2：解方程组
a2?b2?c2?1
a?b?3?c 解：把方程组改写成
(1)
a2+b2 =1-c2 (2)
由(1)2-(2)得ab?c?3c?1
2据韦达定理的逆定理知a，b为一元二次方程t?(3?c)t?c?3c?1?0的两实根，
22??3?23c?c2?4c2?43c?4??3c2?23c?1??(3c?1)2?0,
?c?33,a?b?. 33解决此类方程组问题，关键是对此类方程组进行适当变形，使之转化为两数之和与两数之积
的形式，便可利用韦达定理的逆定理来求解。
3．解三角问题
is例3：若3n
tanC?9cosB?3sinA (1) 证明：由题设条件知
tanC?9cosB?0. A?9cosB?antC?0,nis2A?9cosB?antC?0,求证：
tanC?9cosB?由(1)(2)得t?3sinAt?292sinA (2) 4929cosB视为方程的两根，而判别式 sinA?0,将tanC、499cosB相等。故tanC?9cosB?0. ??9sin2A?4?sin2A?0，∴两根tanC、4 在解题中怎样判断方程的两根是非常关键的，因为它们不是单个的x1、x2的形式，而各是
一个表达式，这时，就要将各自的表达式看成一个整体来求解。
韦达定理在解题中的应用
