2019版高考数学大一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用教师用书文苏教版

7.4 基本不等式及其应用

1.基本不等式ab≤

a＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a＋b≥2ab(a，b∈R). ba

(2)＋≥2(a，b同号). ab(3)ab≤?

2

2

?a＋b?2 (a，b∈R).

??2?

a2＋b2?a＋b?2(4)≥?? (a，b∈R).

2?2?以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3.算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个

2正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小) p2

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)

4

【知识拓展】

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立?

f(x)min>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)

(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立?f(x)max>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)

f(x)min

(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立?f(x)>A的解集为D； 不等式f(x)

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 1

(1)函数y＝x＋的最小值是2.( × )

x

4π

(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈(0，)的最小值等于4.( × )

cos x2xy

(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件.( × )

yx13

(4)若a>0，则a＋的最小值为2a.( × )

a2

a＋b22

(5)不等式a＋b≥2ab与≥ab有相同的成立条件.( × )

2(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ )

1.(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________. 答案 81

x＋y

解析 ∵x>0，y>0，∴≥xy，

2x＋y2

即xy≤()＝81，

2

当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 2.(教材改编)若0

答案 (0，] 4

解析 由00， 故

－

＝1·2

－

－

的取值范围是____________.