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于是，总电子电流密度为
?kT?J?J2?J1?qn20???2?m*?1/2qU?qU1? ??qVD2??exp?)???exp(2)?exp(kTkTkT????式中m*＝m1*＝m2*。由于异质结情况的复杂性，由热电子发射模型推出的这个结论也只得到了部分异质结实验结果的证实。对正偏压，式中第二项可以略去，即由p区注入n区的电子流很小，正向电流主要由从n区注入p区的电子流形成，这时上式简化为
J?exp(qU2qU)?exp() kTkT这说明发射模型也同样能得到正向电流随电压按指数关系增加的结论。
以上结果不能用于反偏置情况。因为反偏置时电子流从p区注人n区，反向电流的大小由p区少数载流子浓度决定，在较大的反向电压下电流应该是饱和的。
二、异质pn结的注入特性 1、高注入比
由扩散模型的电流－电压方程式，可得异质pn结正偏压下电子电流与空穴电流之比为
JnDn1n20Lp2??E??exp?? JpDp2p10Ln1?kT?式中△E＝△EC+△EV＝Eg2–Eg1，表示n区和p区的禁带宽度之差。在p区和n区杂质完全电离的情况下，n20和p10分别等于n区的掺杂浓度ND2和p区的掺杂浓度NA1，于是上式可表示为
JnDn1ND2Lp2??E?ND2exp(?E) ?exp???kTJpDp2NA1Ln1?kT?NA1上式中的近似处理是因为Dn1与Dp2相差不大，Lp2与Ln1相差不大，而exp(△E/kT)可远大于1。由此可知，即使ND2＜NA1，仍可得到很大的注入比。以宽禁带n型Al0.3Ga0.7As和窄禁带p型GaAs组成的pn结为例，其禁带宽度之差△E＝0.21eV，设p区掺杂浓度为2×1019cm-3，n区掺杂浓度为5×1017cm-3则由上式可得
JnND2?E?exp()?80 JpNA1kT这表明即使宽禁带n区掺杂浓度比p区低近两个数最级，但注入比仍可高达80左右。异质pn结的这一高注入特性是区别于同质pn结的主要特点之一，有重要的实用价值。
对高注入比的应用 在npn双极晶体管中，发射结的发射效率定义为
式中Jn和Jp分别表示由发射区注入基区的电子电流密度和由基区注入发射区的空穴电流密度，当γ接近于1时，才能获得高的电流放大倍数。对于同质结的双极晶体管，为了提高电子发射效率，发射区的掺杂浓度应比基区掺杂浓度高几个数量级，这就限制了基区的掺杂浓度，增大了基区电阻。为了减小基极电阻，只能增加基区宽度，这又影响了器件的频率特性。从前面的讨论中可以看到，若采用宽禁带n型半导体与窄禁带p型半导体形成的异质结作为发射结，则可获得高的注入比和发射效率。以前述的n型Al0.3Ga0.7As与p型GaAs组成的异质发射结为例，当其p型基区
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的掺杂浓度为2×1019cm-3时，注入比仍达80左右，相应的注入效率γ≈0.99，这就可使基区大大减薄，从而大大提高晶体管的频率特性。使用这种结构制作的双极晶体管称为异质结双极晶体管，简写为HBT，在微波和毫米波领域得到广泛应用。由于AlxGa1-xAs/GaAs异质结有较好的晶格匹配，且研究最早，故早期的HBT用n型AlxGa1-xAs和p型GaAs作为异质发射结。后来，随着异质结新材料的发展，现已开发出多种性能优良的HBT。其中之一是用宽禁带n型Ga0.5In0.5P与p型GaAs构成的异质结作为发射结在GaAs衬底上制作的HBT。Ga0.5In0.5P与GaAs也是晶格匹配的，二者间的价带阶△EV为0.30eV，导带阶△EC为0.03eV，△EV>>△EC。由图9-10可以看到△EV越大，空穴从p区进入n区所面临的势垒越高，空穴电流Ip越小，将更有利于提高注入比。采用这种材料结构制作的HBT，其截止频率可高达100GHz，所用的典型基区厚度为0.08?m，掺杂浓度为6×1019cm-3。另一例子是用n型Si和p型Si1-xGex合金形成的异质结作为发射结制作的HBT。Si1-xGex混晶的禁带宽度随Ge组分x的提高而减小，且与Si的价带阶△EV>>△EC，故十分有利于作为基区与Si匹配制作HBT。
2、超注入现象
超注入现象是指在异质pn结中由宽禁带半导体注入到窄禁带半导体中的少数载流子密度可超过宽带半导体中多数载流子浓度，这一现象首先在由宽禁带n型AlxGa1-xAs和窄禁带p型GaAs组成的异质pn结中观察到的。图9-12为这种pn结在正向偏压下的能带图。图中可见，正偏压下n区导带底相对p区导带底随外加电压升高而上升，当电压足够高时可将势垒拉平。由于导带阶的存在，n区导带底就会高于p区导带底。因为p区电子为少数载流子，其准费米能级随电子浓度的上升很快，在稳态正向电流很大时，结两边电子的准费米能级EFn可达到一致。在此情况下，由于p区导带底EC1较n区导带底EC2更低，距EFn更近，故p区导带电子密度n1高于n区电子密度n2，根据玻尔兹曼统计
?E?EFn??E?EFn?n1?NC1exp??C1?；n2?NC2exp??C2?
kTkT????式中NC1和NC2分别表示p型GaAs和n型AlxGa1-xAs的导带底有效态密度，其值一般相差不大，可粗略认为两者相等，故由以上两式可得
n1?E?EC1??exp?C2? n2kT??式中EC2＞EC1，故n1＞n2；若EC2－EC1比kT大一倍，则n1就比n2高一个数量级。因为常温kT很小，这是很容易实现的。
超注入现象是异质结特有的另一重要特性，在半导体异质结激光器中得到广泛出用。应用这一效应，可使窄带区的注入少子密度达到1×1018cm-3以上，从而实现异质结激光器所要求的粒子数反转条件。
图9-12 pn异质结加大正向电压时能带图 §9.3 异质结在光电子器件中的应用
(略，第十章半导体激光器后自学)
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§9.4 半导体量子阱和超晶格
一、基本概念
量子阱和超晶格都是利用禁带宽度不同的两种材料对电子的运动形成低维约束，以使其能量状态产生新的量子化。
半导体超晶格的概念是IBM的日裔科学家江崎和华裔科学家朱兆祥为了开发新的负阻器件于1968年提出，并于1970年首先用砷化镓实现的。他们认为，如果用两种晶格非常匹配但禁带宽度不同的材料A和B，以薄层的形式周期性地交替生长在一起，则其中的电子沿薄层生长方z的连续能带将会分裂为一些子能带，如图9－13所示。
设两种材料薄层的厚度分别为d1和d2，总厚度d＝d1＋d2即为超晶格周期。由于d是构成材料晶格常数a的倍数，构成材料在z方向上由(±nπ/a)所决定的布里渊区将被分裂为若干个小布里渊区，其Ez—kz关系曲线将在这些布里渊区的边界
处间断。例如，若超晶格的周期d为晶格常数a的10倍，那么，构成材料的每个布里渊区都将被分割为10个微小的布里渊区。在每一个微小布里渊区中，超晶格材料的电子能量Ez与波矢kz的关系是连续变化的函数关系，形成一个能带，称为子能带。通常把正常晶体的能带变为许多子能带的情况称为布里渊区的折叠。图中的虚线表示按近自由电子近似得到的一个布里渊区中的抛物线型能带，而实线所代表的超晶格能带明显地为非抛物线型能带。由连续能带分裂而成的第n个子能带的E (k) 关系可表示为
E (k) E(k)?En0?2tncoskd
?/d)k是电子沿z方向的波矢，式中，限制在布里渊区(-?/d，之中；d是两个薄层的总厚度，即超晶格的重复周期，或称超晶格常数；tn是能带宽度的量度，2tn即为该子能带的宽度。在k空间，电子的运动要满足上式。如果沿z方向加一个外加电场E，按照半经典理论，电子运动应满足下列方程
hdk??2?qE dt -3?/d -2?/d -?/d 0 ?/d 2?/d 3?/d kz 图9-13 超晶格中电子沿薄层生长方向的E -k关系 在这个电场的作用下，子能带中的电子将作定向运动，
并在两次散射之间从电场获取并积累能量。如果电子在两次散射之间的自由时间足够长，就有可能依靠积累的能量到达该子能带所属小布里渊区边界k = ? ?/d 的附近。由于E-k曲线在小布里渊区的边界附近趋近于极大值，而电子在能带极大值附近的有效质量为负数，因此，电子在这时的漂移速度将随着电场E的进一步升高而下降，出现负阻效应。
在电场作用下到达布里渊区边界的电子，要回到等价的另一个边界重新开始在电场作用下的运动。这种运动形态在实空间中表现为来回振荡，即布洛赫振荡；其频率为qEd/h，属于微波频 率上段。因此，上述预言若能实现，采用超晶格材料制作的微波器件就会在性能上得到很大改善。
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二、量子阱和超晶格的组成与结构 1、结构特征
在量子力学中，能够对电子的运动产生某种约束并使其能量量子化的势场，即被称为量子阱。原子或分子的势场是一种量子阱，在这种量子阱中的电子具有离散的能级。用两种禁带宽度不同的材料A和B构成两个距离很近的背靠背异质结B/A/B，若材料A是窄禁带半导体，且其导带底低于材料B的导带底，则当其厚度，亦即这两个背靠背异质结的距离小于电子的平均自由程（约100nm）时，电子即被约束在材料A中，形成以材料B为电子势垒、材料A为电子势阱的量子阱。若材料A的价带顶也高于材料B的价带顶，则该结构同时也是以材料B为空穴势垒、材料A为空穴势阱的量子阱。如图9－14 (a)所示。由于这种量子阱只让载流子在异质结平面的法线方向Z上受到约束，电子在垂直于Z方向的x-y平面内的运动不受限制，因而这种量子阱结构通常也被称为二维半导体结构。在实际情况中，由于界面偏离于完美的理想状态，加上材料掺杂的影响，异质结的导带底和价带顶能级不会正好在两种材料的界面上形成台阶，因而实际量子阱的几何形状都比较复杂。不过，随着薄层材料现代生长技术的发展并日臻完善，大量的实验和理论研究都已表明，图9－14(a) 所示的一维方势阱在大多数场合是对非掺杂量子阱的一个很好的近似。因此，本节对量子阱的讨论将只限于一维方势阱。
如果以各自不变的厚度将上述A、B两种薄层材料周期性地交替叠合在一起，即连续地重复生长多个量子阱，形成B/A/B/A…结构，且A层厚度dA远小于B层厚度dB，如图9-14 (b)所示，则该结构即为多量子阱。在多量子阱结构中，势垒层的厚度dB 必须足够大，以保证一个势阱中的电子不能穿透势垒进入另一个势阱，亦即须保证相邻势阱中的电子波函数相互之间没有重叠。
半导体超晶格的结构与多量子阱结构有些相似，也是由A、B两种材料以各自不变的厚度周期性地交替叠合在一起而形成的。但与多量子阱有所不同的是，超晶格结构中的势垒层较薄，如图9－14(c)所示。在半导体超晶格中，势垒层要薄到足以使相邻势阱层中电子的波函数能够相互重叠。这样，超晶格中电子的运动就不仅要受材料晶格周期势的影响，也要同时受到一个沿薄层生长方向Z展开的人工附加周期势场的影响。这个周期势场的周期d=dA+dB，显然比晶格周期势的周期大。但是，由于dA 和dB分别受电子自由程和电子波函数重叠的限制，其和d不会比晶格周期势的周期大很多，仍然是一个以纳米（nm）为单位的微小量。
EgA EgB EgA EgA EgB E (a) Z d (b) d (c) 图 9-14 半导体量子阱 (a)、多量子阱 (b) 及超晶格 (c) 结构示意图 以上主要从薄层几何尺寸的角度勾勒了量子阱、多量子阱和超晶格的基本结构及其区分。从组成材料的性质及其相互之间在能带结构上的复杂关系细看，量子阱与超晶格，特别是超晶格，还具有多种不同的特征。这里所说的能带结构，通常包括两个方面的含义。其一，是指异质结两边导带底和价带顶的相对位置，即导带底和价带顶在异质结处的错落（offset）状况；其二，是指能带在整个结区随空间距离的变化情况。
2、量子阱和超晶格的组成材料
量子阱和超晶格能带结构，特别是能带在异质结处的形状，对其量子效应起着决定性的作用，
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而能带结构又取决于组成材料的物理化学性能以及界面附近的晶体结构。一般说来，高质量的界面对量子阱和超晶格的生长条件要求很高，对生长源的材料纯度、衬底温度以及生长速率的控制等等，都有很高的要求。然而，影响界面特性的最基本因素还是其组成材料的晶格匹配情况。如果两种材料的晶格常数完全一样或非常接近，则薄层A中的原子可以很容易地与薄层B中的相应原子一一对应地排列起来，形成完整的界面，获得高质量的异质结。但是，自然界中极少有晶格常数没有差别的材料，晶格常数差别不大的自然材料也不多。在异质结物理中，一般将组成材料的晶格常数失配度小于0.5% 时的搭配称为晶格匹配，失配度大于0.5% 时则视为晶格失配。图9－15中，以4.2 K低温状态下的禁带宽度和晶格常数为坐标，定位列出了一些具有金刚石或闪锌矿晶体结构的半导体材料。定位于图中同一阴影区内的一组材料基本符合晶格匹配的标准。原则上，同一组中任意两种禁带宽度不同的材料都可以形成晶格匹配的异质结，并进而构成具有特定能带结构的量子阱或超晶格。
不过，图中可见，若全凭自然条件，能用来组成晶格匹配的量子阱或超晶格结构的材料非常有限。借助于固溶体技术调整晶格常数，可以在每一组材料中增加一些合金成员。图中，除了已经标出的两种合金材料Zn0.5Mn0.5Se和Cd0.5Mn0.5Te而外，凡有线条相连的两种材料皆可形成组份稳定的合金，其连线正表示这种合金的禁带宽度与其平均晶格常数的函数关系。因此，由连线在阴影区内的部分定位的合金也就与同一区内的材料晶格匹配。由于合金材料的晶格常数随组份比例而变化，根据需要确定好组份比例，就可以生长出更多种类具有特定能带结构且晶格匹配的量子阱和半导体超晶格。
其实，晶格常数不匹配的两种半导体材料也可以在一定条件下形成量子阱和超晶格，即应变量子阱和应变超晶格。这种量子阱或超晶格的两种组成材料的晶格失配度可高达7%，是通过结构薄层双方或其中之一的晶格常数的有限改变来补偿晶格失配的应力。Si/GeSi量子阱和超晶格即是其中的典型。当然，应变层的厚度十分有限。当应变层的厚度超过其临界值时，失配位错就会在界面产生，使晶格的完整性遭到破坏。不过，对一些常用的半导体体系，如Si/Ge、InGaAs/GaAs等，其应变层的临界厚度对构成量子阱和超晶格而言，已完全够用。与晶格匹配的量子阱和超晶格相比，应变量子阱和应变超晶格的 特别之处在于，其能带结构不仅取决于组成材料的物理化学性能及其掺杂状态，还取决于应变层的应变状态，
禁带宽度 ( eV ) 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 ? HgS -0.5 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 ? Zn0.5Mn0.5Se ? ZnS AlP GaP ? ? ZnSe ? AlAs ? 亦即比晶格匹配量子阱和超晶格多一个调制特性的参数，使半导体能带工程的范围进一步扩大。
3、量子阱和超晶格的分类 半导体超晶格一般由IV族与IV族元素半导体材料、III-V族与III-V族化合物半导体材料、II-VI族与II-VI族化合物半导体材料、IV族材料与II-VI族材料，以及III-V族材料与II-VI材料等组成。在这些材料中，既包括
CdS ? ZnTe ? Cd0.5Mn0.5Te ? ? CdSe ? AlSb ? CdTe ? Si GaAs? ? GaP ? Ge ? GaSb InSb ?? HgTe 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 InAs ? HgSe ? 6.1 晶格常数 （?） 图9-15 能带工程常用半导体材料的禁带宽度与晶格常数 单一组份的元素半导体或化合物半导体也包括多组份的固溶体。对固溶体薄层而言，在其生长过
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半导体物理学第九章知识点
