【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例1、 设
A??x|x2?8x?15?0?，B??x|ax?1?0?，若AB?B，求实数a组成的集
合的子集有多少个？
【易错点分析】此题由条件
AB?B易知B?A，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易
忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。 解析：集合A化简得
A??3,5?，由AB?B知B?A故（Ⅰ）当B??时，即方程ax?1?0无
??时，即方程ax?1?0的解为3或5，代入得a?解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B11或。35综上满足条件的a组成的集合为?0,?11?,?，故其子集共有23?8个。 ?35?Ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝Ｂ?A∩B＝Ａ?Ａ将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．
（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：
A???x,y?|x2?y2?4?，
2B???x,y?|?x?3?2??y?4??r2?，其中r?0,若AB??求r的取值范围。将集合所表达
的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。 【练1】已知集合
A??x|x2?4x?0?、B??x|x2?2?a?1?x?a2?1?0?，若B?A，
则实数a的取值范围是 。答案：a?1或a??1。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知
?x?2?2y2??1,求x2?y2的取值范围 4【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、
y满足
?x?2?2y2??1这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。 42解析：由于
?x?2?y2y22??1得(x+2)=1-44≤1，∴-3≤x≤-1从而x+y=-3x-16x-12=
222
+
2882828222222
因此当x=-1时x+y有最小值1, 当x=-时，x+y有最大值。故x+y的取值范围是[1, ] 3333【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件?x?2?2y2??1对4x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，?2?转化为三角最值求解。
y?2。此外本题还可通过三角换元
【练2】（05
x2y2?2?1?b?0?上变化，则x2?2y的最大值为高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线
4b（）
?b2?b2b2??4?0?b?4???4?0?b?2??4（D）2b （A）?4（B）?4（C）4?2b?b?4??2b?b?2???答案：A
【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
例3、
a?2x?1?1f?x??是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数f?x? x1?2【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。 解析：（1）利用
f?x??f??x??0（或f?0??0）求得a=1.
2x?11?yxxf?x??x，设y?f?x?,则2?1?y??1?y由于y?1故2?，
2?11?y1?x2x?12f?x??x?1?x???1,1?所以f?1?x??log21?x??1?x?1?
2?12?1（2）由a?1即
x?log21?y1?y，而
【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。 （2）应用
f?1(b)?a?f(a)?b可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和
函数值要互换。
【练3】（2004全国理）函数A、C、
f?x??x?1?1?x?1?的反函数是（）
y?x2?2x?2?x?1? B、y?x2?2x?2?x?1? y?x2?2x?x?1? D、y?x2?2x?x?1?
答案：B
【易错点4】求反函数与反函数值错位 例4、已知函数称，则
f?x??1?2x?1，函数y?g?x?的图像与y?f?x?1?的图象关于直线y?x对
1?xy?g?x?的解析式为（）
A、g?x??3?2xx B、g?x??2?x1?x3 C、g?x?? D、g?x?? 1?x2?x2?x【易错点分析】解答本题时易由
y?g?x?与y?f?1?x?1?互为反函数，而认为y?f?1?x?1?的
1?2?x?1?1??x?1??3?2xx而错选A。
反函数是
y?f?x?1?则y?g?x?=f?x?1?=?解析：由
f?x??1??x?1?2?x1?2x1?x?1?1得f?x??从而y?f?x?1??再求?1?x2?x2???1?1?x2?x。正确答案：B 1?xy?f?1?x?1?的反函数得g?x??【知识点分类点拔】函数
y?f?1?x?1?与函数y?f?x?1?并不互为反函数，他只是表示f?1?x? y?f?x?1?则f?1?y??x?1，
中x用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设
?1y互换即得y?f?x?1?的反函数为y?f?x??1，故y?fxx?f?1?y??1再将x、??1?的
反函数不是
y?f?1?x?1?，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。
-1
-1
【练4】（2004高考福建卷）已知函数y=log2x的反函数是y=f(x)，则函数y= f(1-x)的图象是（）
答案：B
【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。
例5、 判断函数
f(x)?lg?1?x2?x?2?2的奇偶性。
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：
f(?x)?lg?1?x2?x?2?2?f?x?从
而得出函数
f?x?为非奇非偶函数的错误结论。
2??1?x?0解析：由函数的解析式知x满足?即函数的定义域为??1,0?x?2??2???0,1?定义域关于原点对称，
在定义域下
f?x??lg?1?x2??x易证
f??x???f?x?即函数为奇函数。
【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 （2）函数
f?x?具有奇偶性，则f?x??f??x?或f?x???f??x?是对定义域内x的恒等式。常
常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练5】判断下列函数的奇偶性：
①
f?x??4?x2?x2?4②f?x???x?1?1?x1?x③f?x??1?sinx?cosx
1?sinx?cosx答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。
例6、 函数
f?x??log22x?22x?11?x??或x??2?1??1?1证明f?x?是奇函数且在?的反函数为f?x?，
2?其定义域上是增函数。
【思维分析】可求只需研究原函数
f?1?x?的表达式，再证明。若注意到f?1?x?与f?x?具有相同的单调性和奇偶性，
f?x?的单调性和奇偶性即可。
?2x?1?2x?1解析：
f??x??log2??log22x?12x?1??log22x?12x?1??f?x?，故f?x?为奇函数从而f?1?x?为
奇函数。又令t1??12x?12??t在???,??和?,???上均为增函数且y?log2为增函数，?1?2??22x?12x?1??故
1??1??f?x?在???,??和?,???上分别为增函数。故f?1?x?分别在?0,???和???,0?上分别为
2??2??增函数。
【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即
f?1(b)?a?f(a)?b。
【练6】（1）（99全国高考题）已知
ex?e?xf(x)?2 ，则如下结论正确的是（）
A、 C、
f?x?是奇函数且为增函数 B、f?x? 是奇函数且为减函数 f?x?是偶函数且为增函数 D、 f?x?是偶函数且为减函数
答案：A
（2）（2005天津卷）设
?1f?1?x?是函数f?x??1?ax?a?x??a?1?的反函数，则使f?x??1成立的x的
2a2?1a2?1a2?1取值范围为（）A、(,??) B、(??,) C、(,a) D、(a,??)
2a2a2a2答案：A （a?1时，f?x?单调增函数，所以f?1?x??1?f? f?1?x???f?1??x?f?1??a?12a
易错点1忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全
