高一竞赛数论专题
1.整除
设a,b?Z,a?0.如果存在q?Z,使得b?aq,那么就说b可被a整除(或a整除b),记做a|b.且称b是a的倍数,a是b的约数(也可称为除数、因数).b不能被a整除就记做ab. 整除关系的基本性质 (1)a|b,b|c?a|c.
(2)a|b,a|c?对任意的x,y?Z,有a|bx?cy.
设a1,a2是两个不全为零的整数,如果d|a1且d|a2,那么d就称为a1和a2的公约数,我们把a1和a2的公约数中的最大的称为a1和a2的最大公约数,记做(a1,a2).若(a1,a2)?1,则称a1和a2是既约的,或是互素的.
设a1,a2是两个均不为零的整数,如果a1|l,且a2|l,那么l就称为a1和a2的公倍数,我们把a1和a2的公倍数中的最小的称为a1和a2的最小公倍数,记做[a1,a2].
1.设a1,a2是两个不全为零的整数,证明对任意整数q,都有(a1,a2)?(a1,a2?qa1).
2.设(a,b)?1,证明(1)若a|c,b|c则ab|c.
(2)若a|bc则a|c.
3.(Bezout定理)设a,b是不全为零的整数,证明(a,b)?1的充要条件是存在整数x,y使得ax?by?1.
4.证明对任意整数n,n?2n?n?2n能被120整除.
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mn5.设m是一个大于2正整数,若存在正整数n使得2?1|2?1.求m的所有可能取值.
226.证明：正整数M是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n,(M?1)?M,(M?2)?M,,
(M?n)2?M中至少有一项可以被n整除.
x4?1y4?1444?7.已知整数x,y满足x??1,y??1,且使得是整数,求证xy?1能被x?1整除. y?1x?1
3kk8.证明：对于任何自然数n和k,数f(n,k)?2n?4n?10都不能分解成若干个连续的自然数之积.
9.对于所有素数p和所有正整数n(n?p),证明：Cn???能被p整除.
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四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题讲义(完整版)
