初中数学竞赛专题：线段与角
§8．1线段与角度
8．1．1★在线段AB上有P、Q两点,AB?26,AP?14,PQ?11,求BQ的长． 解析有两种情况：点P相邻于点A,或点P相邻于点B．
(1)当点P相邻于点A时,如图(a)所示,此时BQ?AB?AP?PQ?26?14?11?1．
APQ图(a)BAQP图(b)B
(2)当点P与点B相邻时,如图(b)所示,此时BQ?AB?AP?PQ?26?14?11?23． 8．1．2★如图,已知AC?CB,AD?575CB,AB的长是66厘米,求CD之长． 11解析由于CD?AC?AD,AC、AD又与BC有关,所以,只要求出BC的长即可．
ADCB
因为AB?AC?CB,所以
512AB?CB?CB?CB．
77因为AB?66（厘米）,所以,CB?77（厘米）, 2555535（厘米）,AD?CB?（厘米）,因此 ACCB?72112CD?AC?AD?5535． ??10（厘米）
228．1．3★如图,B、C、D依次是线段AE上的三点,已知AE?8.9厘米,BD?3厘米,则图中以A、
B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度之和等于多少厘米？
ABCDE
解析以A、B、C、D、E为端点的线段共十条,所以所有线段长度之和为
AB?AC?AD?AE?BC?BD?BE?CD?CE?DE?4AB?6BC?
6CD?4DE?4?AB?DE??6?BC?CD??4(AE?BD)?6BD?4AE?2BD?4?8.9?2?3?41.6（厘米）．
8．1．4★★将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段,以这5小段为边可以围成一个五边形．
问其中最长的一段的取值范围．
解析设AB是所围成的五边形ABCDE的某一边（如图）,而线段BC、CD、DE、EA则可看成是点A、B之间的一条折线,因此,
DCEBA
AB?BC?CD?DE?EA．
设最长的一段AB的长度为x厘米,则其余4段的和为?10?x?厘米．由线段基本性质知x?10?x,所以x?5,又
10?AB?BC?CD?DE?EA≤5x,
所以x≥2．即最长的一段AB的长度必须小于5厘米且不小于2厘米． 8．1．5★若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7,求这个角的邻补角．
解析设这个角为?,则这个角的余角为90???,这个角的补角为180???．依照题意,这两个角的比为?90????∶?180?????2∶7．
所以360??2??630??7?,5??270?,所以??54?． 从而,这个角的邻补角为180??54??126?．
8．1．6★如图,?AOB是钝角,OC、OD、OE是三条射线,若OC?OA,OD平分?AOB,OE平分
?BOC．求?DOE的度数．
ADOCEB
解析设?AOB??,则
?AOD??2,?DOC?90??．
2?因为?COB???90?,所以?COE??45?．因此,?DOE??DOC??COE?90????45??45?．
222???8．1．7★★★△ABC中,?A是最小角,?B是最大角,且2?B?5?A,若?B的最大值是m?,最小值
是n?,求m?n的值．
解析根据题意,得?A≤?C≤?B． 因为?A??B??C?180?,2?B?5?A,所以
2?B??B??C?180?, 5即?B??C?180?．
7?C?180???B≤?B,
575由此得
12?B≥180?,?B≥75?． 5又因为?A??B≤?C,所以
277?B??B≤?C??B?180?, 55525即?B≤180?,所以?B≤100?． 所以75?≤?B≤100?,故
m?n?100?75?175．
958．1．8★在平面上,一个凸n边形的内角和小于1999?,求n的最大值,
解析因为凸n边形的内角和为?n?2??180?,所以?n?2??180??1999?,n?2?12,所以,n?14． 又凸13边形的内角和为
?13?2??180??1980??1999?,
故n的最大值是13．
8．1．9★如图所示,求?A??B??C??D??E??F??G．
ABGFCMDNE
解析如图所示,可得?B??BMN??E??G?360?,
?FNM??F??A??C?360?,
而?RMN??FNM??D?180?,
所以?A??B??C??D??E??F??G?540?．
8．1．10★如图所示,?A??B??C??D??E??F??G?n?90?,则n?____．
ABCyDREGQFx
解析设AF与DG相交于点Q,CE与DG相交于点R,记?AQR?x?,?CRG?y?,则
?A??D?x??180?,
?B??C??G?y??360?, ?E??F?x??y?．
把此三式相加得
?A??B??C??D??E??F??G?540?,
所以n?6．
8．1．11★如图所示．平面上六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭折线图形．求
?A??B??C??D??E??F的度数．
ABPFREDQC
解析所求的六个角中任意三个都不在同一个三角形中；两个在同一个三角形中,而该三角形的第三个角的对顶角（共三个）在一个三角形中,于是,我们反复利用内角和定理可得
?A??B??APB?180?, ?E??F??FRE?180?,
?C??D??DQC?180?,
而?PRQ??PQR??QPR?180?,所以
?APB??FRE??DQC?180?,
故?A??B??C??D??E??F?360?．
8．1．12★★如图,在△ABC中,M为AB的中点,D为AB上任一点．N、P分别为CD、BC的中点,Q为MN的中点,直线PQ与AB相交于E,则AE?ED．
AMDBEQNPC
解析连结PN,则BD∥2PN∥2ME．于是
AE?AM?EM?111AB?BD?AD, 222所以AE?ED,
8.1.13★★如图,求图中?A??B??C??D??E的大小． 解析
1
如图(a),连结BE．在△DOC中,?D??C??DOC?180?,在△OBE中,?OBE??OEB??BOE?180?,又?DOC??BOE,所以?D??C??OBE??OFB．因此
?A??B??C??D??E??A??B??E???D??C??
?A??ABO??AEO??OBE??OEB??A??ABE??AEB?180?．
DAOEB图(a)B图(b)CDP21AOEC
解析2如图(b),在△DOC中,由三角形外角的性质,得
?1??D??C,
?2??A??E
所以?A??B??C??D??E
??B???D??C????A??E?
??B??1??2?180?．
评注由解析2可以看出,三角形外角的性质虽很简单,却很有用,它能把许多分散的角集中到一个三
角形（或多边形）中来．
8．1．14★★如图,BE平分?ABD,CF平分?ACD,BE与CF相交于G,若?BDC?140?,?BGC?100?,求?A的度数．
AF5BE642CG31D
解析连结BC．在△BDC中?D??1??2?180?, 所以?1??2?180???D?180??140??40?． 在△BGC中,?1??3??2??4??BGC?180?,所以
?3??4?180????1??2???BGC?180??40??100??40?．
又因为BE、CF分别为?ABD、?ACD的平分线,所以
?5??6??3??4?40?．
在△ABC中
?A??1??3??5??2??4??6?180?,
即?A?(40??40??40?)?180?． 所以?A?60?．
8．1．15★★在△ABC中,AB?AC,D、E、F分别在AB、BC、CA上,且DE?EF?FD．求证：
AFDBEC
?DEB?1??ADF??CFE?． 2解析如图,易知?B??C． 因为?DEB??CFE
??FEB??CFE?60? ??C?60?,
又?ADF??DEB??ADE??DEB?60?
??B?60?,
于是?DEB??CFE??ADF??DEB． 此即?DEB?(?CFE+?ADF)．
8．1．16★如图,DC平分?ADB,CE平分?AEB,若?DAE??,?DBE??,求?DCE的度数（用?、． ?表示）
A12CBED
解析如图,由△ACD与△ACE的内角和是360?可得
11?ADB??AEB???360???DCE?360?, 22由△ABD与△ABE的内角和是360?可得
?ADB????AEB?360????360?,
所以?DCE?????ADB??AEB?
???11???????????． 22128.1.17★★★如图,求?A??C??D??F??G??I??J??L???B??E??H??K?的大小,此处?B即?ABC,余类推,
ABKHIGCLJEDF
解析连结BK、BE、EH、KH．由四边形内角和是360?可知,
?A??L??LKB??ABK?360?． ?C??D??CBE??DEB?360?,
?F??G??GHE??HEF?360?, ?J??I??IHK??JKH?360?, ?HKB??KBE??BEH??EHK?360?,
因此
?A??C??D??F??G??I??J??L
?360??4?(?LKB??ABK??CBE??DEB??GHE??HEF??IHK??JKH)．
而
?LKB??ABK??CBE??DEB??GHE??HEF??IHK??JKH?(?HKB??KBE??BEH??EHK)?(?B??E??H??K)?360??4,所以
?LKB??ABK??CBE??DEB??GHE??HEF??IHK??JKH?360??4???B??E??H??K??360?,
从而
?A??C??D??F??G??I??J??L?360??4???360??4???B??E??H??K??360???
?360??(?B??E??H??K),
所以
?A??C??D??F??G??I??J
??L?(?B??E??H??K)?360?．
8．1．18★若时钟由2点30分走到2点50分,问：时针和分针各转过多大的角度？
解析在2点30分,分针指向教字6,在2点50分,分针指向数字10,因此,分针转过了4“格”,而每1“格”为30?,所以,分针共转过了4?30??120?． 由于时针转动的速度是分针转动速度的
11,所以,时针转动了?120??10?． 1212评注在钟表问题中,有许多有关时针、分针的转角问题,解这类问题的关键是：时针的转动的速度是分针转动速度的
1,钟面上每1“格”是30?． 128.1.19时钟里,时针从5点整的位置起,顺时针方向转多少度时,分针与时针第一次重合？ 解析在开始时,分针“落后”于时针150?．设分针与时针第一次重合时,时针转动了角?,那么,分针转动了(150???)．因为分针转速是时针的12倍,所以
111211098762150°3α54
150????12?,
??150??7???13??． 11?11?7???时,分针与时针重合． 11?即时针顺时针方向转动??13?评注钟表里的分针与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追赶问题非常相似．行程问题中的
距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时（分）针的转动速度． 8．1．20★★在4点与5点之间,时针与分针在何时 (1)成120?； (2)成90?．
解析(1)如图(a),在4点整时,时针与分针恰成120?．由于所问的时间是介于4点到5点之间,因此,这个时间不能计入,从4点开始,分针与时针之间的角度先逐步减少,直至两针重合（夹角为．之后,分针“超过”时针,两针之间的夹角又逐渐增大（此时,分针在时针的前面）．直到两0?）
针夹角又一次成为120?,这个时间正是我们所要求的．
11121109876图(a)2120°α453
设时针顺时针转过角?后,时针与分针（分针在时针前）成120?,则
12??120????120?．
所以??240??9???21??． 11?11?由于时针每转过30?（如从指向数字4转到指向数字5）相当于1小时（60分钟）．所以时针每转过1?
9?21相当于经过2分钟,????相当于经过了
?11?97． 21?2?43（分钟）
1111因此,在4点437分时,时针与分针成120?角． 11
(2)如图(b)、(c)所示,由于在整4点时,时针与分针夹角为120?,因此,在4点与5点之间,时针 与分针成90?有两种情况：
11109876图(b)12112α1112123109812αα4765图(c)23α54
(i)时针在分针之前(如图(b))．设时针转了?角,分针转了12?角,有
120????90??12?,
所以11??30?, 即??用时
3065?2??5（分钟） 11111130? 11(ii)时针在分针之后(如图(c)),此时,有关系
12????120??90?, 11??210?,
所以??用时
210?． 112104202?2??38（分钟） 111111综上所述,在4点到5点之间,在4点552分与4点38分两个时间时,时针与分针成90?． 1111评注由于时针与分针所成角依时针与分针的“前”“后”次序有两种情况,因此,按两针夹角情况会出现一解或两解．
8．1．21★如图所示,在△ABC中,AB?AC,?A≤45?,点P、Q分别在边AC、AB上,且
AP?PQ?QB?BC≤AQ,求?A的大小．
AxP2xQ3xB2xRC
解析在线段PC上取点R,使得QR?QP（事实上,只要以点Q为圆心,QP为半径作圆,与CP交于点．设?A?x,则?PQA?x,?QPR?2x,?QRP?2x,于是 R即可）
?BQR??A??QRA?3x．
又QR?QB,所以?QBR?180??3x,于是 2180??x?180??3x?, ?BRC??ABR??A????x?22??而?BCR?180??x,所以BR?BC． 2故△BQR为正三角形,所以3x?60?,x?20?,即?A?20?．
8．1．22★★如图(a),在四边形ABCD中,AB?BC?CD,?ABC?70?,?BCD?170?,求
?BAD的度数．
ADBC(a)
解析作点M,如图(b)其与点A在边BC的同侧,使得△BMC是正三角形,则△ABM与△MCD是等腰三角形,其中?ABM?10?,?MCD?110?,
AMDBC(b)
因此
?AMB?85?,?CMD?35?,
故?AMD?360???AMB??BMC??CMD?360??85??60??35??180?,所以,点M在线段
AD上,所以?BAD??BAM?85?．
§8.2特殊角
8．2．1★以△ABC的边AB为直径作圆,与边AC交于M,与BC交于N(M、N不与A、B重合),
S△ABC?4S△MNC,△ABC中有一内角是另一个的2倍,求△ABC的3个内角．
CMNAB
解析BM、AN为△ABC的高,在△ABC内部,故△ABC为锐角三角形． 如图,由于△CMB∽△CNA,故cosC?CNCMCM?CN???ACBCAC?BCS△CMN1?,故?C?60?． S△ABC2剩下的角中,不可能有30?或120?,故只可能是一个为40?,另一个为80?． 8．2．2★△ABC中,?B?70?,?A?80?,点P为△ABC内一点,?CBP??BCP?10?, 求?BAP．
APBC
解析如图,?BPC?160??2?BAC,又BP?CP,故P为△ABC的外心,PA?PB． 又?ACB?30?,故?APB?60?,△ABP为正三角形,所以?BAP?60?．
8．2．3★★将一个等腰三角形ABC划分成两个较小的等腰三角形,问这样的△ABC有几种形状？并
将所有形状都列出来．
ABDC
解析如图,设等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD．不妨设?ADB≥90?,于是,等腰三角形ABD中,只能有AD?BD．这时?RAC??B,而△ACD有三种情况． (1)AD?CD,则?RAC?90?,△ABC为等腰直角三角形．
(2)CD?AC．设?B??,则?ADB?180??2?,?BAC?3?,?C?180??4?,由于
?ADB≥90?,?≤45?．若?B??C,则??180??4?,得??36?；若?BAC??C,则3??180??4?．得
??180?, 7这两种情况都是解．
(3)AD?AC,?C?2?,?BAC?180??3?,显然?B??C．由?BAC??C得2??180??3?, 故??36?．
综上,总共有4组解,所求等腰三角形的三个内角分别为(45?,45?,90?)、(36?,36?,108?)、
?180?540?540??,,??、?36?,72?,72??． 77??78．2．4★★设△ABC内有一点M,?MBA?30?,?MAB?10?,又?ACB?80?,AC?BC,求
?AMC．
CMADB
解析如图,作CD?AB,则
AB?2AD?2ACsin40?．
又由正弦定理,
ABsin40???2sin40?, AMsin30?于是
ABAB,AC?AM． ?AMAC而?CAM?40?,所以?AMC?70?．
8．2．5★★已知△ABC中,AB?AC,?A?20?,D在AB内,且AD?BC,求?DCA的大小． 解析如图,在△ABC外作正三角形ADE,则?EAC?80???ACB,AE?AD?BC,AC?AC,故
△FAC≌△BAC,
EC?AB?AC,又
ED?AD,CD?CD,有△EDC≌△ADC,故
11?DCA??ECA??BAC?10?．
22AEDBC
8．2．6★★★已知△ABC中,?B?18?,?C?36?,求证：BC?AC为△ABC外接圆半径． 解析如图,延长CA至E,使BE?BC,则?E?36?,?ABE?90?．取AE中点D,则
DE?DB?AD,?EDB?108?,又作△ABC的外心O,则CO?BO为△ABC外接圆半
径,?COB?2?DAB?108?．
CAODBE
故△COB≌△EDB,CO?BD?AD．
而?CDB??CBD?72?,故CO?CD?AC?BC?AC．
评注证明四边形CDBO为等腰梯形也可,这样就无须点E了．
8．2．7已知△ABC中,?A?100?,AB?AC,延长AB至点D,使AD?BC,求?BCD． 解析如图,在AB上找一点E,使?ACE?30?． 易知
AEsin30?, ?ACsin50?
AE40°B40°-θD30°θC
ADBC??2cos40?, ACAC两式相乘,得
AE?AD2sin30?cos40???1, AC2sin50?于是AC2?AE?AD,故△ACE∽△ADC,?D??ACE?30?,所以?BCD?40???D?10?．
8．2．8★★★已知等腰△ABC,底角?ABC??ACB?50?,点D、E分别在BC、AC上,AD、BE 交于点P,?ABE?30?,?BAD?50?,连结ED,求?BED．
解析如图,在BP上找一点Q,使?QDB?10?或?PQD?30?,连结AQ．
A50°Q30°30°20°PE50°DBC
由于?DAC?30?,故?QDA?80??10??70?．
QDsin70???2sin20??2cos70?． BDsin30?又BD?AD,故QD?2ADcos70?．若设A在QD上的垂足为K,则QD?2DK．因此AQ?AD,
?AQD?70?,?QAD?40?．
而A、Q、D、E共圆,故?BED??QAD?40?．
8．2．9★★★△ABC中,?A?100?,AB?AC,点P为△ABC内一点,?PAC??ACP?20?, 求?PBA．
解析如图,在△ABC内作△AQB≌△APC,则AQ?BQ?AP,于是?QAP?100??40??60?,
1△QAP为正三角形,QA?PQ?BQ,Q为△ABP外心,因此?PBA??PQA?30?．
2AQPBC
8．2．10★★★设点P为△ABC内一点,?PBA?10?,?BAP?20?,?PCB?30?,?CBP?40?,求证：
△ABC是等腰三角形．
解析如图,作AQ?BC,且AQ?AB,连结QP、QB、QC．
APBQC
易知?BAQ?40?,于是?BAP??QAP．
△BAP≌△QAP,BP?QP．又?APB?150???APQ,所以?BPQ?60?,△BPQ为正三角形．
又BQ?PQ,?PQB?60??2?PCB,所以Q为△BPC之外心,于是BQ?CQ．AQ垂直平分BC, 所以AB?AC．
8．2．11★★★已知△ABC中,AB?AC,D在AC上,?ADB?60?,E在BD上,?ECB?30?,求?AEC的大小．
AEBFDC
?解析如图,作E关于BC的对称点F,连结EF、CF、BF、AF,则△EFC为正三角形,EF?CE． 设?BAC??,则?ECA?90???????60??,?BEC??ECA??BDC?180??．由于E和F关于BC222??对称,故?BFC??BEC?180??．
2?在以A为圆心、AB为半径的圆中,?BFC恰好是圆心角?BAC的一半的补角,故F在该圆上,
2?AF?AC,又EF?CE,故△AEF≌△AEC,?AEC?360???FEC?150?． 28．2．12★★★△ABC中．AD是角平分线,CE为边AB上的高,若?CDA?45?,求?BED． 解析?B??A． ??CDA?45?,故?B,?BAC?90?,E在AB上（而不是延长线上）
2
AEFBDC
?A???ECB?90???B,?ACB?180???B??A,故?ECB??ACB?270??2??B???180?． 2??于是延长AC后,D至AC、CE距离相等,又AD为角平分线,故D至AB、AC距离相等,因此D至
EB、EC等距,ED平分?BEC,?BED?45?．
（本题几条辅助线用语言即可说明,不添亦可．）
8．2．13★★★△ABC中,?A?100?,AB?AC,点P为△ABC内一点,?ACP?10?,?PAC?20?,求
?PBA．
APBQC
解析如图,与△ABC在AB同侧作正三角形ABQ,则?QAP??CAP?20?．又AQ?AB?AC,故
△APQ≌△APC,?APQ??APC?150?．而?ABQ?60?,AB?BQ,故B为△APQ外心,BP?BA．而
?BAP?80?,所以?ABP?20?．
8．2．14★★★如图,凸四边形ABCD中,AC、BD交于点P,?DBC?60?,?ACB?50?,
?ABD?20?,?ACD?30?,求?ADB．
DθAO20°P30°50°C60°B
解析作△ADC的外心O,则△AOD为正三角形,AO?CO．连结BO,易知AB?BC,故
1△ABO≌△CBO,则?ABO??ABC?40?,?OBD?20???ABD,
2
于是
sin?BADBDBDsin?BOD．而?BAD??BOD?360??40??60??260??180?, ???sin20?ADODsin20?12故?BAD??BOD,于是△ABD≌△BOD,所以?ADB??ADO?30?．
8．2．15★★★设△ABC中,AB?AC,?A?80?,P是三角形内一点,?PAB?10?,?PBA?20?,求
?ACP．
AQBPC
APsin20?, ?ABsin150?AEDFBG解析如图,作CQ?AP,则AQ?ACcos70?．又
C
故AP?2ABsin20??2ACcos70?,于是AP?2AQ,CQ垂直平分AP,AC?CP,?APC??PAC?70?． 故?ACP?40?．
8．2．16★★★★△ACB中,?BAC?40?,?ABC?60?,点D、E分别是边AC、AB上的点,?CBD?40?,?BCE?70?,点F是直线BD和CE的交点,证明：直线AF和BC垂直． 解析如图,在△BCF外作正三角形FCG,连结DG．BG,则?BDC??ABD??BAC?60???FGC, 故D、F、C、G共圆,?BDG?120???ADB．又易知?BFC?70???BCF,于是BF?BC,而
FG?GC,所以△BFG≌△BCG,于是?DBG?20???DBA,从而△GBD≌△ABD,故
BG?AB．于是易见△ABF≌△GBF,AF?GF?CF．由于?ACB?80?,故?FCA?10?,这样便有 ?CAF?10?,与?ACB互余,因此AF?BC．
8．2．17★★★★已知△ABC中,?A?108?,AB?AC,延长AC至点D,设点J是BD的中点,求证：当AD?BC时有AJ?JC．
解析如图,取BC中点K,AC中点M,连结AK、MK、MJ、KJ．在BC上取一点E,使CE?CD,
则由AD?BC得BE?AC?AB(设为1),于是?AEB?72?,?EAC?36???ACE,
AMBKEJCD
2KJ?CD?AE?2cos72?．易见AK?BC,MK?1,?MKJ?72?,设M在KI上的垂足为N,则211KN?cos72??KJ,于是N为KJ中点,MN垂直平分KJ,MJ?KM?AM?MC,因此AJ?JC．
228．2．18★★★如图(a),在凸四边形ABCD中,AB?CD,?ABC?77?,?BCD?150?．设线段BC、AD的垂直平分线的交点为P,求?BPC的度数．
ANDBMCBMCANDP(a)P(b)
解析如图(b),连结AP、BP、CP、DP,另知△ABP≌△DCP,所以?ABP??DCP． 设?CBP??BCP??,则
?ABP??DCP?77???．
所以360???DCB??BCP??PCD
?150????77???,
所以,2??133?．于是
?BPC?2?BPM?2?90????
?180??2??47?,
8．2．19★★★★△ABC中,?A?30?,?B?50?,点P为△ABC内一点,?PAB?20?,?PCA?40?, 求?PBA．
CAQDPB
解析如图,延长CP至D,使△BCD为正三角形,则CD?BD?BC,?CDB?60??2?CAB．于是D是
△ABC的外心,因此AD?CD,?CAD??ACD?40?,?DAB?10?．于是?PAD?30???CAB, ?ADP?100???ACB,△ADP∽△ACB,故
ABACAC． ??APADBCABAC,而?APCQ今作?ACD的平分线CQ,Q在AB上,则?ACO?20?,?CQB?50???ABC,故CQ?BC,
?PAB?20???QCA,于是△PAB∽△QCA,即?PBA??QAC?30?．
8．2．20★★★★已知点E是△ABC内一点,BE延长后交AC于点D,?DCE?10?,?DBC?30?,
?ECB?20?,?ABD?40?,求?BAE．
AEFKBCD
解析如图,作?ECB平分线CF,与AB交于F,与BE交于K．易知?AFC?80???FAC,
AC?CF,△AEC≌△FEC,AE?FE．
由?FKB?40???FBK,知BF?KF．BK?2BFcos40?,又由正弦定理及角平分线性质,有
BKBCsin50?BK． ???2cos40??EKECsin30?FK于是FK?EK,因此?KFE??KEF?20?,而?AFC?80?,故?AFE?60?,由AE?FE,得
?BAE?60?．
8．2．21 ★★★★△ABC中,?A?80?,?B?60?,点P为△ABC内一点,?PAC??PCA?10?,求?PBA． 解析如图,在△ABC外作△BCD,使?CBD??BCD?40?,则?ABD?100???BDC,而
?BAC?80???ACD,故ABDC为等腰梯形,且AB?DC?BD．
今在梯形ABDC内作正三角形BDP?,则AB?BP?,?ABP??40?,得?P?AB?70?,?P?AC?10?,同理,?P?CA?10?,因此P?与P重合,故?PBA?40?．
APP'BCD
初中数学竞赛专题：线段与角
