可以认为，佩尔曼的最后证明是近百年来数学家们共同尝试的结果。正是这些数学家们证明的不足和缺陷才促成了佩尔曼的最终证明。通过研究爱因斯坦等人的创造过程也揭示这样的事实：他们的创造性思想依赖于合作和社会支持，其中合作是取得创造性突破的关键因素。［20］
斯拉曼设计了一项定性研究，以5位职业数学家为样本，研究他们是如何创造数学的，结果显示所有数学家的研究经历中，合作互动是重要的环节，他们每个人也都非常乐于与他们的研究生交流并非常重视研究过程中的社会互动。这5位数学家都认可通过电子邮件交流和参加相关的学术会议对他们的研究所起的作用。纽曼（Neumann）设计了另一项研究，用以找出在一个研究团队中，提升研究者的创造力的最好条件。他得出了这样的结论：互动性的环境对提高创造力非常有利。在什么样的互动对创造力最为有利的问题上，他认为，如果一个人恰好和一个只想要精确数据和确证结论的人交流，那么这种交流就不会导致新思想、新观点的产生。但是与学术高手进行思想互动则容易激发思维的火花和观念的迸发。［21］
三、研究展望
数学创造力研究还有很大的改进和发展空间。数学创造力概念界定不清晰，研究过程取样不恰当、不充分，实验研究时缺乏严格的变量控制，以及分析评价时使用不合适的测量和统计工具，都可能大大削弱研究结论的可靠性和说服
力。未来的研究，在对已往研究进行深入的分析以找出研究过程中的陷阱和漏洞，并对研究方法和手段做持续不断地改进的同时，将着重围绕以下几个方面展开。
（一）数学创造力的测量与评价
尽管数学能力同数学创造思维能力的高低呈正相关，但两者是不同质的能力，不能互相替代。我们需要对一般数学能力与数学创造力进行甑别或测试。卡尔顿（Carlton）等人提出的数学创造力行为特征指标可以作为发展测评工具的基本出发点。［22］有人使用“一般数学能力”的某些指标对数学创造力进行测查，也有人专门设计数学创造力测量表，却没有对为什么在测量表中使用这些指标给出有说服力的解释。这就预示着必须就一般数学能力和数学创造力之间的差别做出研究。在这方面，对不同性别在各个年龄阶段上的数学能力和一般能力测查做因素分析，有助于判明现有一些可用工具究竟是在测查人的什么特质。对早期识别儿童数学创造力的测量工具和观察技术的改进和完善，也是一个有重要价值的研究课题。只有评价得当，才能把那些创造力非凡的学生鉴别出来，为他们的发展提供更大的舞台，同时对创造力水平不突出的学生进行有效地培养。也只有发展了较为完善的数学创造力测评工具，我们才能确定什么样的教学方法对培养数学创造力是有效的，什么样的教学方法有是无效的。
（二）已有研究的拓展与深化
克鲁捷茨基（Kruteskii）在对数学天赋儿童的大量观察基础上总结了儿童数学创造性思维的特征，并发现一些人的神经系统对数量关系、空间形式、符
号系统更为敏感，因而他们不需刻意做太多的努力和给予特别留心就能建立起数量关系、空间形式、符号系统及其之间的关联。克鲁捷茨基所做的这些假设激起了数学创造能力的神经生理机制研究。借助认知神经科学研究的成果，能对当前数学创造力研究的很多争论做出更合理的解释。
作为对克鲁捷茨基的假设的检验，运用口语报告分析的方法，对学生在数学的学习、观察、工作记忆、长时记忆和问题解决过程中的生理和心理行为做细致入微地分析，可能得到关于数学创造过程有深刻价值的新见解。同时，克鲁捷茨基对数学天赋儿童的临床分析还可扩大到对数学感到特别困难的儿童。通过对天赋儿童和学习困难儿童思维过程的对比分析，更容易揭示数学创造性思维的特性。另外，对数学天赋儿童或杰出数学家就问题解决过程进行个别深度访谈，或让学生在解决数学问题过程中进行出声思考，以及接着对其进行跟踪个案研究都是非常有价值的研究数学创造力方法，运用这种方法会对数学创造力的结构和变化进程给出合理的解释。
另一个富有潜在价值的研究路线是考察遗传因素和环境因素对数学创造力的影响及二者间的相互作用。例如，可将“儿童的年龄和性别对数学创造力的影响”的研究问题拓展为“儿童青少年的年龄和性别对数学创造力的影响”，还可以进一步把研究对象扩大到具有不同社会经济背景、不同民族的群体，并可把在某个特定时间段对某个给定群体的数学创造力研究扩展为对这类群体做长时期大跨度的跟踪研究。这类研究使研究者不再满足于从事可控的实验，提取
重要变量，而是投身于现场考查，利用“民族志”的方法，对理解数学创造力的社会环境和发展过程进行实地跟踪。
（三）课堂教学中数学创造力培养
尽管我们都承认在课堂教学中教师对学生数学创造力发展起关键作用，也曾经有人专门设计提升在职数学教师的创造力的课程方案，以唤起这些教师对学生数学创造力的重视，并提升他们如何创设学习环境以激发数学创造力的能力，然而我们对数学教师的何种行为或开展的何种形式的活动，会对学生的数学创造力发展究竟起到何种的作用、产生什么样影响却缺少精细的实证研究。针对这些问题，常用的研究方法是将“直觉的”“发现的”或“创意的”数学教学与“传统的”“制式的”或“教师中心”的教学进行比较，考察二者所产生的实际效果，并特别要考察学生的学习和思维方式是否发生变化。虽然通常所说的“直觉的”“发现的”或“创意的”教学已得到充分的肯定，但是这种教学方式是否真的培养了学生的创造性思维尚需进行审慎地分析与评估。有时，被认为最为有效的提升创造力的方法，也并不对学生会产生预期效果。有研究指出，教学方法与学习风格的相互作用才会对学生行为发生显著影响。［23］这些探索预示一个的新课题：教师特征、教学方法与学习风格之间的相互作用如何影响学生的数学学习行为。
（四）运用计算机促进数学创造力培养
在创造力培养中，计算机和其他现代技术的作用已经引起了许多研究者的关注。［24］
使用计算机，将会导致数学观的改变。数学不是纯粹的演绎学科，而是动态的、建构性的学科，其中直觉、猜想、反驳对数学的发展起着很大的作用，这种动态数学观促使教师把注意力从学生知识的获取转到知识的探求。
计算机的优势在于图解能力，它可以描绘静止的图表，也可描绘生动直观的图形，而杰出数学家的创造更多借助于直观的图表而不是文字符号。计算机发展到人工智能阶段，已经可以让数学图形动起来，实现可视化教学［25］，这就为数学创造力培养增加了一个新的方向。
未来的研究将围绕下面两个课题进行：如何利用计算机的信息贮存、获取和显示功能以及多媒体技术创设生动、直观，有启发的学习情境，以激发和培养学生的数学创造力；如何设计适合小组或个人学习的智能软件，以充分实现学习的差别化和个性化。
概言之，复杂的计算机设计和模拟系统、交互式技术和人工智能的进展，将给数学创造力的培养提供新的巨大的空间。
数学创造力的特征、培养与研究展望
