【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．
??p?2q?4?0?p?2q?4?0??【详解】解：当点(?1,2)在?内时，有??p?2q?3?0，即?p?2q?3?0，画出不等式组表示的平面
?q?2?0??q?2?0??区域如图所示.
其中点A???17?,?，B(?8,?2)，C(7,?2)，则6p+4q在点B处取得最小值?56，在点C处取得最大值34，?24?故最大值与最小值之和为?22. 故选：B．
【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 11.如图，在四棱锥C?ABOD中，CO?平面ABOD,AB//OD,OB?OD，且
AB?2OD?12,AD?62，异面直线CD与AB所成角为30°，点O,B,C,D都在同一个球面上，则
该球的半径为 （ ）
A. 32 【答案】C 【解析】
B. 42 C. 21
D. 42 由条件可知AB∥OD ，所以，?CDO 为异面直线CD 与AB 所成角，故?CDO?30o ，而OD?6，故OC?OD?tan30o?23 ，在直角梯形ABOD 中，易得OB?6 ，以OB,OC,OD 为相邻的三条棱，
6
补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R 即为所求的球的半径，由
?2R?2?23??2?62?62?84 ，故R?21 . 本题选择C选项.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
12.已知定义在R上的偶函数f?x?满足：0?x?1时，f?x???x?3x，且f?x?1??f?x?1?，若方
3程f?x??logax?1+1(a?0,a?1)恰好有12个实数根，则实数a的取值范围是 （ ） A. (5，6) 【答案】B 【解析】
230?x?1 时，f(x)=-x+3x， ?f'?x???3?x?1??0 ,故f?x? 在[0,1]上单调递增，且
??B. (6，8) C. (7，8) D. (10，12)
f?0??0,f?1??2 ，由f?x?1??f?x?1? 可知函数f?x? 是周期为2的周期函数，而函数y?f?x?
与y?logax?1?1 都是偶函数，画出它们的部分图象如图所示，根据偶函数的对称性可知，只需这两个函数在0,+???() 有6个不同交点，
loga?5?1??1?2loga?7?1??1?2 ，即{显然a?1 ，结合图象可得{本题选择B选项.
loga6?1loga8?1 ，故6?a?8 .
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）
13.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：
7
qq?1当x?(p,q为整数,为既约分数)?ppR(x)??p，若f(x)是定义在R上且最小正周期为1的函数，当
??0当x?0,1或[0,1]上的无理数x?[0,1]时，f(x)?R(x)，则f(173)?f(lg20)?______________.
【答案】13
【解析】 【分析】
结合已知函数解析式及函数的周期进行转化即可求解． 【
详
解
】
解
：
由
函
数
的
最
小
正
周
期
为
1
可
f??17??3???f(lg20)?f??2??2?11?5?3???f(1?lg2)?f??3???f(lg2)?3?0?3，
故答案为：
13． 【点睛】本题主要考查利用函数的周期性求解函数值，属于基础题．
14.已知点A在圆x2?y2?4上，点B的坐标为(1,1)，点O为坐标原点，则uOAuur?uOBuur的最大值为
______________. 【答案】22 【解析】 【分析】
设点A的坐标为(m,n)，由题意知m2?n2?4，利用基本不等式计算uOAuurguOBuur?m?n的最大值即可．【详解】解：设点A的坐标为(m,n)，则m2?n2?4， 所以uOAuurguOBuur?m?1?n?1?m?n；
设t?m?n，则
t2?m2?n2?2mn?4?2mn?4?m2?n2?8，
当且仅当m?n?2时取等号； 所以?22剟t22，
所以uOAuurguOBuur的最大值为22．
故答案为：22．
8
得
【点睛】本题考查了平面向量的数量积与利用基本不等式求最值问题，属于中档题． 15.已知a,b,c?[?4,4]，则|a?b|?|b?c|?2|c?a|的最大值为_________. 【答案】8 【解析】 【分析】
设x?|a?b|,y?|b?c|,z?|c?a|，不妨设a?b?c，再利用三角换元，结合三角函数的有界性，即可得答案.
【详解】设x?|a?b|,y?|b?c|,z?|c?a|，不妨设a?b?c， 则x2?a?b,y2?b?c,z2?a?c，故x?y?z，所以， 可设x?zcos?,y?zsin?(0≤?≤)，0≤z≤22，则
2?222x?y?2z?z(sin??cos??2)
?z[2sin(??)?2]≤z(2?2)?22?22=8，当且仅当a?4,b?0,c??4时取等号
4即|a?b|?|b?c|?2|c?a|的最大值为8. 故答案为：8.
点睛】本题考查利用三角换元法及三角恒等变换中的辅助角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
16.过抛物线y?8x的焦点作直线l1:y?kx?m与l2:y?2?【为______________. 【答案】(?2,0) 【解析】 【分析】
1x?n(k?0,k??1)，若直线l1与抛物线交于kA,B，直线l2与抛物线交于C,D，且AB的中点为M,CD的中点为N，则直线MN与x轴的交点坐标
1由条件可知两条直线都过焦点F(2,0)，则直线l1:y?k(x?2)，直线l2:y?(x?2)，联立直线l1与抛物
k?2k2?44?,?，同理可得点N的坐标为(4k2?2，4k)，进而求线方程，利用韦达定理得到点M的坐标为?2k??k出直线MN的方程，令y?0即可得到直线MN与x轴的交点坐标．
9
1【详解】解：由条件可知两条直线都过焦点F(2,0)，则直线l1:y?k(x?2)，直线l2:y?(x?2)，
k?y2?8x2222由? 可得kx?(4k?8)x?4k?0， ?y?k(x?2)84k2?8y?y?k(x?2)?k(x?2)?k(x?x)?4k?设A(x1，y1)B(x2，y2)，则x1?x2?，， 1212122kk?2k2?44?,?， 则点M的坐标为?2k??k同理可得点N的坐标为4k?2,4k， 则直线MN的方程为y?4k??2?k(x?4k2?2)，令y?0可得x??2， 2k?1即直线MN与x轴的交点为(?2,0)， 故答案
：(?2,0)．
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在VABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若?2tanA?sinBcosC?cosBsinC，且VABC的面积为23. （1）求bc的值； （2）若b?2c，求a.
【答案】（1）bc?8（2）a?27 【解析】 【分析】
（1）运用两角和的正弦公式、同角的基本关系式，化简可得sinA，再由三角形的面积公式，可得bc的值； （2）求得b，c的值，由余弦定理计算即可得到所求a的值． 【详解】解：（1）?2tanA?sinBcosC?cosBsinC?sin(B?C)?sinA， 即2sinA??sinA(sinA?0)， cosA111可得cosA??，(0?A??)，
2?sinA?1?13?， 42 10
2024届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（七）数学（理）试题
