BST金牌数学高三专题系列之 圆锥曲线复习（一）
一、椭圆及其标准方程
1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数2a?F1F2的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；
这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c. （2a?F1F2时为线段F1F2，2a?F1F2无轨迹）. 2．标准方程：c2???a2?b2
x2y2①焦点在x轴上：2?2?1（a＞b＞0）； 焦点F（±c，0）
aby2x2②焦点在y轴上：2?2?1（a＞b＞0）； 焦点F（0, ±c）
ab注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；
x2y2??1 或者 mx2+ny2=1 ②两种标准方程可用一般形式表示：
mn二、椭圆的简单几何性质： 1.范围
x2y2（1）椭圆2?2?1（a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤y≤b
aby2x2（2）椭圆2?2?1（a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤y≤a
ab2.对称性
椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 3.顶点
（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）
（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
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4．离心率
2cb22cce??1?()（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，记作e（0?e?1），2aa2aa2
，椭圆就越接近于圆; e越接近于1 （e越大），椭圆越扁； e?0是圆；e越接近于0 （e越小）
注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（
|PF|?e） d222axy①焦点在x轴上：2?2?1（a＞b＞0）准线方程：x??cab
ay2x2②焦点在y轴上：2?2?1（a＞b＞0）准线方程：y??
cab
2
题型一：选择题
x2y2?2?1（m?0）的左焦点为F例1.【广东文8】已知椭圆1??4,0?，则m?( ) 25mA．9 B．4 C．3 D．2
拓展练习 x22
1. 椭圆＋y＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝( )
473
A. B. C.3 D．4 22
2. 矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的短轴的长为( ) A．23 B．26 C．42
D．43
3
3．已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是( )
4
x2y2x2y2x2y2x2y2x2y2x2y2
A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 167167716162516252516
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题型二 ：填空题
x2y2??1错误!未找到引用源。的三个顶点，且圆心在x轴上，则例2.【新课标1文14】一个圆经过椭圆
164该圆的标准方程为 ．
拓展练习
1.【安徽】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 ．
x2y2
2.【高考湖北】椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆
ab短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点M，则椭圆的离心率为 ． x22
3. 已知点A(0,2)及椭圆＋y＝1上任意一点P，则|PA|的最大值为 ．
4
题型三 ：综合解答
2
.过F1的直线l交2
x2y22例3.【文20】如图，椭圆E:2?2?1(a?b?0)经过点A(0,?1)，且离心率为.
ab2(I)求椭圆E的方程；
(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
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拓展练习
x2y2
1.【能力提升】设椭圆C：2＋2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半
ab→→
轴于Q点，且2F1F2＋F2Q＝0. (1)求椭圆C的离心率；
(2)若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线x－3y－3＝0相切，求椭圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M，N两点，点P(4,0)，求△PMN面积的最大值．
x2y22.【安徽】设F1，F2分别是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，
ab|AF1|=3|F1B|．
（Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； （Ⅱ）若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．
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x2y23.【河南】已知点A（0，﹣2），椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率为
ab的斜率为
，O为坐标原点．
，F是椭圆E的右焦点，直线AF
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
典型高考
x2y2
【高考浙江卷】如图，点P(0，－1)是椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，
abl2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D. (1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
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圆锥曲线复习（一） - 图文
