= =
1xlim1?cosxx?0x2
2sin2limx?0x2x2sin2x12?1limx?02x2()22例7: 求lim(1?2x)的极限
x?0解：原式=
11??22x2x(1?2x)?(1?2x)?e??limx?0??
利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。
4 利用函数的连续性
因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果
f(x)是初等函数,且是
x0f(x)?f(x0)2x?16f(x)的定义区间
内的点, 则lim例8：
x?1。
x?x0limarcsin
解 :因为复合函数arcsin是初等函数,而x?1是其
1
定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此
limarcsinx?1
例8：求limlnsinx
x?2x?12x?1?arcsin661?=arcsin=26
?2解： 复合函数
lnsinx在x??处是连续的，所以在这
2点的极限值就等于该点处的函数值
即有limlnsinx?lnsin? 2x??2 ==0
5 利用两个准则求极限。
limsin?2?ln1
（1） 函数极限的迫敛性：若一正整数 N,当n>N时，有xn?ynlimx且?zx??n?limzn?a,x??nlimy 则有
x??n?a。
利用夹逼准则求极限关键在于从x的表达式中，
n通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列
?yn?和
?zn?，使得
yn?xn?zn。
1
xnxn?1n2?1?1n2?2?.......1n2?n
例9 ： 求的极限
解：因为单调递减，所以存在最大项和最
xn小项
xn?1n2?n?1n2?n?.......?1n2?n?nn2?n xn?1n2?1?1n2?1?.......?1n2?1?nn2?1
n 则n2?n?xn?nnn2?1
nn?12x?? 又因为
limxn?1x??limx??n?n2?lim?1
（2 ） 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 例12：设x1?10,xn?1?6?xn?n?1,2,n?。试证数列?x?的极
n限存在, 并求此极限。 解: 由x?10及x12?4知x?x。
12k设对某个正整数k有xxk?1?6?xk?6?xk?1?xk?2?xk?1， 则有
从而由数学归纳法可知, 对一切自然数n, 都有
xn?xn?1
，
1
即数列{x}单调下降, 由已知易见x?0(n?1,2...)即
nn有下界,
根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。 令limx?A对xn??nn?1?6?xn2两边取极限，
解得A=3,或???2。
n??n有??因为x6???0所以有????6?0n??0，舍去???2,故，所以limx(n?1,2...)?3
6 利用洛必达法则求未定式的极限 定义6.1：若当
x?a（或
x??）时，函数
f?x?和
F?x?都趋于零(或无穷大)，则极限
f(x)limF(x)x?a(x??)可能存在、也可能不存在，
通常称为0型和?型未定式。
0? 例如：
limtanx, (型);
x?000xlimx?0lnsinax, (?型). lnsinbx?F?x?定理6.2：设 （1）当x??时, 函数f?x?和
趋于零;
都
1
（2）在a点的某去心邻域内,和
F'?x?f'?x?都存在且
F'?x??0;
（3） limx?a(x??)f(x)F(x)存在(或无穷大),
则
limx?af(x)f?(x)?limx?aF?(x)F(x)
定义6.3：这种在一定条件下通过分子分母分别
求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 例10：
limsin2x?x2cos2xlimx?0x2sin2x
解：
(sinx?xcosx)(sinx?xcosx)sinx?xcosxsinx?xcosx=lim?limx?0x?0x?0x4xx3
=2limcosx?cosx?xsinx2sinx2=lim=2x?0x?03x3x3 在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加
快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，并注意观察所求极限的类型如下例， 例11：求limx?0?x1?ex
tt?0?解： limx?0?x1?ex=lim1?te?lim?1et?0?t??1
洛必达法则通常适用于以下类型：
1
数学分析中求极限的方法总结
