数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结

1 利用极限的四则运算法则和简单技巧

极限的四则运算法则叙述如下： 定理1.1：如果limf（x）=?,limg（x）=? x?x0x?x0（1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)???? x?x0x?x0x?x0（2）lim?f（x）?g（x）?=limf（x)?limg(x)???? x?x0x?x0x?x0limf(x)?f(x)x?x（3）若B≠0 则：lim?0? x?x0g(x)limg(x)?x?x0（4）limc?f(x)?c?limf(x)?c? x?x0x?x0lim?f(x)???limf(x)???n???x?x0?（5）x?x0（n为自然数）

nn上述性质对于x??,x???,x???也同样成立i

由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

x2?5lim例1. 求x?2x?3的极限

解：由定理中的第三式可以知道

x2?5??x2?5limlim?x?2 x?2x?3lim?x?3?

x?2?limx2?lim5x?2x?2

limx?lim3x?2x?2

22?5???92?3

limx?1?2x?3的极限

例2. 求x?3 解：分子分母同时乘以x?1?2 1

x?1?2lim?limx?3x?3x?3

?x?1?2?x?3??x?3??x?1?2x?1?2x?3??

?lim

?14?x?3??x?1?2?

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可

xn?11??1?22?3?1?n?1??n例3. 已知

，求limxn n??11=1?2解： 观察 1?2111=?2?323

111=? ?n?1??n?n-1?n?1 ?n?1??n11x???n因此得到 1?22?31111?1????2233

1?1?n

?1?limxn?lim?1???1n??n???n? 所以

?111??n?1n?1n

2 利用导数的定义求极限

0

???，导数的定义：函数f(x)在x附近有定义，则

?y?f?x如果

f?x0??x??f?x??y?lim?x?0?x?x?0?xlim0??x??f?x0?

存在，

1

则此极限值就称函数f(x)在点x的导数记0为f'?x?。

0即

f'?x??limf?x??x??f?x??x 在这种方法的运用过程中，首先要选好

000?x?0f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点x的

0导数。

例4. 求lim?x?2??ctg2x的极限

x?x2解： lim?x?2??ctg2x?x?x211?tg2x???limtg2x?tg2???xx2x???2x?lim2x?x?x?22

???f?x??f??1?2???limx????x?x?2f'??2?2?

3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式：

?12

1

（1）limsinx?1，

x?0x（2）

?1?lim?1???ex???x?x

但我们经常使用的是它们的变形：

（1）lim（2）sin??x??1,???x??0???x???x? ，

?1?lim?1????x??????e,???x????求极限。

?2x)例5：lim(1 (1?x)x?01x

1x

解：为了利用极限

lim(1?x)?ex?0故把原式括号内式子

拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。

lim(x?01?2x)(1?x)1x=

?3xxlim(1?)x?01?x1

=

例6：

lim?3x?3x1?xlim[(1?)]?e?3x?01?x1?x?3?3x??=lim?1??x?0?1?x?1?x1?3x???3xx1?x

1?cosxx?0x2

解：将分母变形 后再化成“0/0”型 所以

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