第十六章 多元函数的极限与连续
一、证明题
1. 证明: 当且仅当存在各点互不相同的点列{pn}?E,p≠p0. limPn=P0时P0是E的聚点.
n??2. 证明:闭域必是闭集,举例证明反之不真.
3. 证明:点列{pn(xn,yn)}收敛于p0(x0,y0)的充要条件是limxn=x0和limyn=y0.
n??n??4. 证明: 开集与闭集具有对偶性——若E为开集,则Ec为闭集;若E为闭集,则Ec为开集. 5. 证明:
(1) 若F1,F2为闭集,则F1∪f2与F1∩F2都为闭集; (2) 若E1,E2为开集,则E1∪E2与E1∩E2都为开集; (3) 若F为闭集,E为开集,则F\\F为闭集,E\\F为开集. 6. 试把闭区域套定理推广为闭集套定理,并证明之. 7. 证明定理16.4(有限覆盖定理): 8. 证明: 若1°
(x,y)?(0,0)limf(x,y)存在且等于A;
x?ay?bx?a2°当y在b的某邻域内时,存在有limf(x,y)??(y),则limlimf(x,y)?A.
x2y?0. 9. 试应用ε-δ定义证明: lim(x,y)?(0,0)x2?y210. 叙述并证明: 二元函数极限存在的唯一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理. 11. 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.
x?22, x?y?0?p?0??22p12.设f(x,y)=?x?y
?0, x2?y2?0???试讨论它在(0,0)点的连续性.
13. 设f(x,y)定义于闭矩形域S=[a,b]×[c,d],若f对y在[c,d]上处处连续.对x在[a,b]上(且关于y)为一致连续,证明f在S上处处连续.
14. 证明:若D?R2是有界闭域,f为D上连续函数,则f(D)不仅有界(定理16.8)而且是闭区间. 15. 若一元函数?(x)在[a,b]上连续,令
f(x,y)=?(x),(x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞),试讨论f在D上是否连续?是否一致连续?
16. 设(x,y)=
1,(x,y)∈D=?0,1???0,1?,证明f在D上不一致连续. 1?xy17. 设f在R2上分别对每一自变量x和y是连续的,并且每当固定x时f对y是单调的,证明f是R2上的二元连续函数.
二、计算题
1.判断下列平面点集,哪些是开集、闭集、有界集或区域？并分别指出它们的聚点与界点。
(1) ?a,b???c,d?; (2) {(x,y)|xy≠0}; (3) {(x,y)|xy=0}; (4) {(x,y)|y>x2};
(5) {(x,y)|x<2, y<2, x+y>2}; (6) {(x,y)|xy≥0}; (7) {(x,y)|y=sin
1, x>0}; x(8) {(x,y)|x2+y2=1,或y=0, 0≤x≤1}; (9) {(x,y)|x2+y2≤1,或y=0, 1≤x≤2}; (10) {(x,y)|x,y均为整数}.
2. 试问集合{(x,y)|0<|x-a|<δ,0<|y-b|<δ}与集合{(x,y)||x-a|<δ,|y-b|<δ,(x,y)≠(a,b)}是否相同?
3. 求下列各函数的函数值:
2?arctg(x?y)?(1)f(x,y)??, ??arctg(x?y)?求f???1?31?3??; ,2??2?(2) f(x,y)?2xy?y?,求f?1,?;
x2?y2?x?(3) f(x,y)=x2+y2 - xytg
x, 求f(tx, ty) y4. 求下列各函数的定义域,画出定义域的图形,并说明这是何种点集:
x2?y2(1) f(x,y)?2;
x?y2(2) f(x,y)?1; 222x?3yxy;
y2?1;
(3) f(x,y)?2(4) f(x,y)?1-x?(5) f(x,y)?lnx?lny
23(6) f(x,y)?sin(x?y);
(7) f(x,y)=ln(y-x); (8) f(x,y)?e-(x2?y2);
(9) f(x,y,z)?z; 22x?y?1R2?x2?y2?z2?
(R>r)
(10) f(x,y,z)?1x?y?z?r22225. 试求下列极限(包括非正常极限):
x2y2(1) lim;
(x,y)?(0,0)x2?y21?x2?y2(2) lim;
(x,y)?(0,0)x2?y2(3)
(x,y)?(0,0)limx2?y21?x?y?122;
(4)
xy?1;
(x,y)?(0,0)x4?y4lim1;
(x,y)?(1,2)2x?ylimlim(x?y)sin1; 22x?y(5)
(6)
(x,y)?(0,0)sin(x3?y3)1(7) lim; 22(x,y)?(0,0)x?y6. 讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限:
y2(1) f(x,y)?2;
x?y2
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十六章
