2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛
速度的方向沿y轴的正方向．与这速度联系的洛伦兹力正好和引力抵消，故粒子将以速率v0沿y轴运动．由（3）式可知，v0的大小是恒定的，与粒子的初速度无关，且对同种的粒子相同．
在Oxy平面内的速度v．与这速度联系的洛伦兹力使粒子在Oxy平面内作速率为v的匀速率圆周运动，若以R表示圆周的半径，则有
vB?mv2qR
得
R?mvqB 由（4）、（5）式可知，轨道半径不仅与粒子的质量有关，而且与粒子的初速度的x分量ux和y分量uy有关．圆周运动的速度方向是随时间变化的，在圆周运动的一个周期内的平均速度等于0．
由此可见，等离子层内电子和质子的运动虽然相当复杂，但每个粒子都具有由（3）式给出的速度v0，其方向垂直于粒子所在处的地球引力方向，对电子，方向向西，对质子，方向向东．电子、质子这种运动称为漂移运动，对应的速度称为漂移速度．漂移运动是粒子的定向运动，电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流．
由（3）式和（1）、（2）两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为
v?60e?9.2?10m/s
v0p?1.7?10?2m/s
（7）
由于电子、质子漂移速度的方向相反，电荷异号，它们产生的电流方向相同，均为沿纬度向东.根据电流密度的定义有
j?nq?v0p?v0e?
代入有关数据得
j?2.8?10?14A/m2
电流密度的方向沿纬度向东.
2．上一小题的讨论表明，粒子在Oxy平面内作圆周运动，运动的速率由（4）式给出，它与粒子的初速度有关．对初速度方向指向地心的粒子，圆周运动的速率为
v?u22x?v0 由（1）、（2）、（3）、（5）、（10）各式并代入题给的有关数据可得电子、质子的轨道半径分别为
Re?0.33m
- 16 -
（5）
（6） （8）（9）10）
11）
（（2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛
Rp?14.8m
（12）
以上的计算表明，虽然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子还受到磁场的作用，电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为2Re?0.66m和2Rp?29.6m，都远小于等离子层的厚度，所考察的电子和质子仍在等离子层内运动，不会落到地面上.
解法二：.
1.由于等离子层的厚度远小于地球半径，故在所考察等离子区域内的引力场和磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度
引力加速度
3.0?10?R?B??0?B0?T?2.4?10??T （1）
125?r?3?59.8?R?g??0?g0?m/s2?0.39m/s2
25?r?z vz
O vx
2（2）
考察等离子层中的某一质量为m，电荷量为q、初速度为u的粒子，取粒子所在处为坐标原点O，作一直角坐标系Oxyz，Ox轴指向地球中心，Oz沿磁场方向，如图1所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量分别为ux、uy和uz. 若以vx、vy、y方向和z方向的vz表示粒子在任意时刻t的速度v在x方向、
分速度，则带电粒子在引力和洛伦兹力的共同作用下的运动方程为 m mx
vy y
图1
?dvxmg??mg?qvyB?qB?vy??dtqB??（3）
dvym??qvxB dt
（4）
dvz?0dt
（5）
（5）式表明，所考察粒子的速度在z轴上的分量保持不变，即
作变量代换，令
vz?uz
（6）
Vx?vx 其中
（7）
Vy?vy?v0
v0?- 17 -
mg qB （8）
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把（7）、（8）式代入（3）、（4）式得
mdVxdt?qBVy
mdVydt??qVxB 由（9）、(10) 两式可知，作用于粒子的力F在x和y方向的分量分别为 Fx?qBVy
Fy??qBVx
若用?1表示F的方向与x轴的夹角，?2表示V的方向与x轴的夹角，而V?V2x?V2y，则有
tan?1?FyF??VxV xy
tan?Vy2?V
x可见tan?1?tan?2??1，表明F的方向与V的方向垂直，粒子将在F的作用下在Oxy平面内作速率为V的匀速圆周运动．若以R表示圆周的半径，则有
2 qVB?mVR
R?mVqB 在匀速圆周运动中，V的大小是不变的，任何时刻V的值也就是t?0时刻V的值，由（7）式和已知条件在t?0时刻有 Vx?uxVy?uy?v0
故有
V?u2x??u2y?v0?
以上讨论表明，粒子的运动可分成三部分：
根据（6）式vz?uz，可知粒子沿z轴的分速度大小和方向都保持不变，但对不同的粒子是不同的，属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量．
根据（7）式可得vx?Vx，vy?Vy?v0，表明粒子在Oxy平面内以速率V作圆周运动的同时，又以速度v0沿y轴运动．Vx、Vy是圆周运动速度的x分量和y分量．圆周运动的轨道半径不仅与粒子的质量有关，而且与粒子的初速度的x分量ux和y分量uy有关．圆周运动的速度方向是随时间变化的，在圆周运动的一个周期内的平均速度等于0．
- 18 -
（9） （10）
（11）
（12）
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沿y轴的速度v0由（8）式给出，其大小是恒定的，与粒子的初速度无关，同种粒子相同，但对带正电的粒子，其方向沿y轴的负方向，对带负电的粒子，其方向沿y轴的正方向．
由此可见，等离子层内电子和质子虽然相当复杂，但每个粒子都具有由（8）式给出的速度v0，其方向垂直于粒子所在处的地球引力，对电子，方向向西，对质子，方向向东．电子、质子这种运动称为漂移运动，对应的速度称为漂移速度．漂移运动是粒子的定向运动，电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流．
由（8）式和（1）、（2）两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为
v0e?9.2?10?6m/s
v0p?1.7?10?2m/s
由于电子、质子漂移速度的方相反，电荷异号，它们产生的电流方向相同，均为沿纬度向东.根据电流密度的定义有
j?nq?v0p?v0e?
（15）
代入有关数据得
j?2.8?10?14A/m2
电流密度的方向沿纬度向东.
2．上一小题的讨论表明，粒子在Oxy平面内作圆周运动，运动的速率由（12）式给出，它与粒子的初速度有关．对初速度方向指向地心的粒子，圆周运动的速率为
V?u22x?v0
ux是不同的，电子、质子的质量又是不同的，故电子、质子在Oxy平面内作圆周运动的半径也是不同的．由（1）、（2）、（8）、（11）、（12）各式并代入有关数据可得电子、质子的轨道半径分别为
Re?0.33m
（18）
Rp?14.8m
（19）
以上的计算表明，虽然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子还受到磁场的作用，电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为2Re?0.66m和2Rp?29.6m，都远小于电离层的厚度，所考察的电子和质子仍在等离子层内运动，不会落到地面上. 六、参考解答：
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13）14）16）17） （ （
（
（
因题给出的电子与质子的初速度
2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛
1．
Dl?s 2．ld?
附1、2两问的参考解法：
1．求S?经双缝产生的干涉图像的零级亮纹P0?的位置
设P0?点的坐标为y?0，它也就是光源S?与S分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距离，
即
P0?P0??y?y?0?0?y0? 由双缝到P0?点的光程差?1?S2P0??S1P0?，从S1作S2P0?的垂线交于H点，三角形OP0P0?与三角形S1HS2相似，因D??d， 则
?1?dDy?0?dD?y y P0? ?G 2 S1 y?0 S d O z S? ?s H P0 S?l 2 1D 图1
从S2作S?S1的垂线交于G，S?到双缝的光程差
?2?S?S2?S?S1
三角形SOS?与三角形S1GS2相似，因l??d，则
??Sd2?S2??S?G?GS1???GS1??l?s
对满足零光程差条件的P0?而言， ??S?Sdd?s2?S2P0??????S?S1?S1P0?????1??2?D?y?l?0 得
- 20 -
1）2）3）（附
（附
（附
2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考解答（word版）
