2024-2024学年高三数学大一轮复习讲义 2.5指数与指数函数 理 新人教A版.doc

2024-2024学年高三数学大一轮复习讲义 2.5指数与指数函数 理

新人教A版

2014高考会这样考 1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．

复习备考要这样做 1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证；2.掌握两种情况下指数函数的图象和性质，在解题中要善于分析，灵活使用；3.对有关的复合函数要搞清函数的结构．

1． 根式的性质

(1)(a)＝a.

(2)当n为奇数时a＝a. 当n为偶数时a＝{a

nnnnnna－a a

2． 有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正整数指数幂：a＝a·a·…·na (n∈N)． 个②零指数幂：a＝1(a≠0)．

1－p*

③负整数指数幂：a＝p(a≠0，p∈N)．

0

n*

a④正分数指数幂：a＝a(a>0，m、n∈N，且n>1)． ⑤负分数指数幂：a－＝

mnnm*

mn1

man＝1

(a>0，m、n∈N，且n>1)．

*

nam⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aa＝arsr＋s(a>0，r、s∈Q)；

②(a)＝a(a>0，r、s∈Q)； ③(ab)＝ab(a>0，b>0，r∈Q)． 3． 指数函数的图象与性质

rrrrsrs y＝ax a>1 00时，y>1； 性质 (5)当x>0时，01 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 数a按：01进行分类讨论． [难点正本 疑点清源]

1． 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂

的运算，从而可以简化计算过程．

2． 指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：01

进行分类讨论．

3． 比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值．

610

1． 化简[(－2)]－(－1)的值为________．

2

答案 7

610613

解析 [(－2)]－(－1)＝(2)－1＝2－1＝7.

22

2． 若函数y＝(a－1)在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．

答案 (－2，－1)∪(1，2)

解析 由y＝(a－1)在(－∞，＋∞)上为减函数，得0

2

2xx22

3． 若函数f(x)＝a－1 (a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.

答案

3

2

x解析 当a>1时，x∈[0,2]，y∈[0，a－1]． 因定义域和值域一致，故a－1＝2，即a＝3. 当0

4． (2012·四川)函数( )

2

2

y＝ax－

1

a(a>0，且a≠1)的图象可能是

答案 D

11x解析 当a>1时，y＝a－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.

aa11x当0

aa5． 设函数( )

f(x)＝a－|x|

(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，

A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2) 答案 A 解析 ∵f(x)＝a－|x|

(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，

1－2

∴a＝4，∴a＝，

2

?1?－|x||x|

∴f(x)＝??＝2，∴f(－2)>f(－1)，故选A.

?2?

题型一 指数幂的运算