26. 设数列的首项为，公比为，由已知得
或
，
，，，
，解得
当时，与矛盾，舍去，，
，解得，，
.
27. (2014湖北黄冈高三期末考试) 等差数列最大值为 . 27. 16
的前项和记为，若，，则的
27. 等差数列的前项和为, ，，即，
，
，，解得，
.
28. (2014湖南,20,12分)已知数列{an}满足a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*. (Ⅰ)若{an}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;
(Ⅱ)若p=,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式.
28.查看解析
28.(Ⅰ)因为{an}是递增数列,所以|an+1-an|=an+1-an=pn.而a1=1,因此a2=p+1,a3=p2+p+1.
又a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2=a1+3a3,因而3p2-p=0,解得p=或p=0.
当p=0时,an+1=an,这与{an}是递增数列矛盾.故p=(Ⅱ)由于{a2n-1}是递增数列,因而a2n+1-a2n-1>0, 于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0.①
.
但<
,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.②
由①,②知,a2n-a2n-1>0,
因此a2n-a2n-1==.③
因为{a2n}是递减数列,同理可得,a2n+1-a2n<0,故
a2n+1-a2n=-=.④
由③,④知,an+1-an=.
于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+-+…+
=1+·
=+·,
故数列{an}的通项公式为
an=+·.
29.(2014江苏,20,16分)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.
(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;
(2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0.若{an}是“H数列”,求d的值;
(3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”*bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*)成立. 29.查看解析
29.(1)证明:由已知,当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得Sn=2n=am. 所以{an}是“H数列”.
(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为{an}是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1.从而d=-1.
当d=-1时,an=2-n,Sn=是小于2的整数,n∈N*.于是对任意的正整数n,总存在正整数
m=2-Sn=2-因此d的值为-1.
,使得Sn=2-m=am,所以{an}是“H数列”.
(3)证明:设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*). 令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则an=bn+cn(n∈N*), 下证{bn}是“H数列”.
设{bn}的前n项和为Tn,则Tn=a1(n∈N*).于是对任意的正整数n,总存在正整数
m=,使得Tn=bm.所以{bn}是“H数列”.
同理可证{cn}也是“H数列”.
所以,对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”*bn}和{cn},使得an=bn+cn(n∈N*).
30.(2014课表全国Ⅰ，17，12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
(Ⅰ)证明:an+2-an=λ;
(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 30.查看解析
30.(Ⅰ)由anan+1=λSn-1,得an+1an+2=λSn+1-1. 两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1. 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(Ⅱ)a1=1,又a1a2=λS1-1,则可得a2=λ-1. 由(Ⅰ)知,a3=λ+1. 令2a2=a1+a3,解得λ=4. 故an+2-an=4,由此可得
{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3; {a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
31.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，22）（原创）在数列中，已知，，
其前项和满足。
(1) 求的值；
(2) 求的表达式；
(3) 对于任意的正整数 31.查看解析
，求证：。
31. (1) 依次令可得，，；
(2) 法一：由⑴猜想假设
，下面用数学归纳法证明：①当
时结论成立，即
，则
时结论显然成立；②
，故当
时结论成立。综上知结论成立。
法二：猜想，下面用第二数学归纳法证明：①当时结论成立，即
时结论显然成立；②假设，则
，故
当
时结论成立。综上知结论成立。
法三：由题，当
时，，故，因此
[科学备考]2015高考数学（理）（新课标）二轮复习配套试题：第六章 数列 等差数量及其前N项和
