高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解
第一章 函数、极限、连续
第1节 函数
★基本内容学习
一 基本概念和性质
1函数的定义
设有两个变量x和y，变量x的变域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作：y?f?x?。
2函数概念的两要素
①定义域：自变量x的变化范围②对应关系：给定x值,求y值的方法。 3函数的三种表示方法
①显式：形如y?f?x?的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。
②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如
x2y2F(x,y)?0，如椭圆函数2?2?1。
ab?x?vt③参数式：形如平抛运动的轨迹方程??12称作参数式。参数式将两个
y?gt??2变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。 4函数的四个基本性质
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①奇偶性：设函数f?x?在对称区间X上有定义，如果对于?x?X恒有
f(x)?f(?x)
(或)f(x)??f(?x)，则称f?x?为偶函数(或f?x?奇函数)。注：偶函数f?x?图形关于y轴对称，奇函数f?x?的图形关于坐标原点对称。
②有界性：设函数f?x?在区间X上有定义,如果?M?0,使得对一切x?X,恒有：f?x??M,则称f?x?在区间X上有界；若不存在这样的M?0，则称f?x?在区间X上无界.注：函数f?x?有无界是相对于某个区间而言的。
③周期性：设函数f?x?在区间X上有定义,若存在一个与x无关的正数T，使对任一x?X，恒有f?x?T??f?x? 则称f?x?是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数f?x?的周期。
④单调性：设函数f?x?在区间X上有定义，如果对?x1,x2?X,x1?x2,恒有：
f?x1??f?x2?(或f?x1??f?x2?)则称f?x?在区间X上是单调增加(或单调减少)的；
如果对于?x1,x2?X,x1?x2,恒有：f?x1??f?x2? (或f?x1??f?x2?)则称f?x?在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。
5其它函数定义
①复合函数：设函数y?f?u?的定义域为Df，而函数u???x?的定义域是D?值域为Z?，若Df?Z???，则称函数y?f????x???为x的复合函数，它的定义域是
{x∣x?D?且?(x)?Df}。这里?表示空集。
②反函数：设函数y?f?x?的值域为Zf，如果对于Zf中任一y值，从关系式
y?f?x?中可确定唯一的一个x值，则称变量x为变量y的函数，记为：x???y?，
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其中??y?称为函数y?f?x?的反函数，习惯上y?f?x?的反函数记为：y?f?1?x?。
6初等函数
①常值函数 C(C为常数)，x?R
②幂函数 y?x????R?，定义域由?确定，但不论?如何，在(0,?)内总有定义。
③指数函数 y?ax(a?0且a?1) x?R
x④对数函数 y?loga( a?0且a?1) x?(0,?)
⑤三角函数 如y?sinx,x?R；y?cosx,x?R；
y?tanx,x?(k???2,k???2),k?Z；cotx,x?(k?,(k?1)?),k?Z等
⑥反三角函数 y?arcsinx,x?[?1,1]；y?arccosx,x?[?1,1]；y?arctanx,x?R；
y?arccotx,x?R.
以上六类函数称基本初等函数。
由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。 7分段函数
一个函数在其定义域内，对应于不同的区间段有着不同的表达式，则该函数称为分段函数。分段函数仅是说函数的表示形式，并不是说它是几个函数。
常见的分段函数：
?1当x?0,?①符号函数 y?sgnx??0当x?0,
??1当x?0.?②取整函数 [x]表示不超过x的最大整数；[x]?n,当n?x?n?1，其中n为整数。
?1当x为有理数时,③狄利克莱(Dirichlet)函数 y?f?x???
0当x为无理数时.?
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