1xa??x?1xx2b?x，量 ＝ a ：x.水杯的重心位置为，水的重心位置为，水面位置为，于是222bba?xb解得x?a2?ab?a 13.已知函数f(x)?2x121，f(1)?1，f()?.令x1?，xn?1?f(xn). ax?b232
(I)求数列{xn}的通项公式；
1. 2e122x解 由f(1)?1，f()?得a?b?1，f(x)?
23x?1(II)证明x1x2?xn?1?12482n?1(I)方法一：先求出x1?，x2?，x3?，x4?，猜想xn?n?1.用数学归纳法证明.当n =
23592?12k?11显然成立；假设n = k成立，即xk?k?1，则
2?12xk2k，得证. xk?1?f(xk)??xk?12k?1方法二：xn?1?2xn111 取倒数后整理得?1?(?1)，所以
xn?12xnxn?11111 ?1?()n?1(?1) 所以x?1xn2x1?12n?1(II)方法一：证明
11111?2e.事实上，?2(1?)(1?)?(1?n).
x1x2?xn?1242x1x2?xn?12n2n我们注意到1?2a?(1?a)，（贝努利（Bernoulli）不等式的一般形式： ?，1?2a?(1?a)，
(1?x)n?1?nx，x?(?1,??)）
于是
11n?11n1n?2(1?n)2???2?1?2(1?n)2?1?2(1?n)2?2e
x1x2?xn?122211)?(1?)?e 222n111?ln[(1?)(1?2)?(1?n)]?1
222111?ln(1?)?ln(1?2)???ln(1?n)?1
2221?x)?x(x?0) 构造函数g(x)?ln(1?xg?(x)??1??0，所以g(x)?g(0)?0
1?x1?x所以ln(1?x)?x(x?0)
12方法二：原不等式?(1?)(1?令x?111ln(1?)? 则
2n2n2n1111111ln(1?)?ln(1?2)???ln(1?n)??2???n?1?n?1
2222222x2y214.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0),F1,F2分别为C的左右焦点.P为C右支上一点，且使
ab?F1PF2=?3,又?F1PF2的面积为33a2.
(I)求C的离心率e ；
(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得
?QF2A???QAF2恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
解：(I)如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F1 F2中， ?F1PF2=，?F1PF2的面积为33a2，E为PF1上一点，PE ＝ PF2，E F1 ＝2a，F1 F2 ＝ 32c，求?c3.设PE ＝ PF2 ＝ EF2 ＝ x，F F2 ＝ x， a2S?F1PF2?113PF1?FF2?(x?2a)x?33a2 ，x2?4ax?12a2?0，x?2a. 2222?，于是3P F E 2a F1 P 2c x F2ΔE F1 F2为等腰三角形，?EF1F2?2c?23a，e?1(II) ?? 2此解法可能有误 c?3. a15.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率. (I)求p1，p2，p3，p4；
(II)探究数列{ pn}的递推公式，并给出证明；
(III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.
分析与解：
17?；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或88313?正正正反或反正正正，故p4?1?. 16161(II)共分三种情况：①如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面的概率?Pn?1；②如
2(I)显然p1＝p2＝1，p3?1?果第n次出现正面，第n－1次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n－2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是
1?Pn?2；③如果第n次出现正面，4第n－1次出现正面，第n－2次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n－3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是?Pn?3.
18111?Pn?1??Pn?2??Pn?3.（n?4），④ 248111(III)由(II)知Pn?1??Pn?2??Pn?3??Pn?4，（n?5）⑤，
24811
?Pn?4（n?5） ④－×⑤，有Pn?Pn?1?216所以n?5时，pn的单调递减，又易见p1＝p2＞p3＞p4＞….
综上，Pn?n?3时，pn的单调递减，且显然有下界0，所以pn的极限存在.对Pn?Pn?1?取极限可得limpn?0.
n???1?Pn?4两边同时16其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零.
2012年“华约”自主招生试题解析
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“华约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)
