2011年“华约”自主招生试题解析
一、选择题
15|?则|z| ＝ ( ) z24321A????????B????????C????????D? 543215512解：由|z?|?得|z|?1?|z|，已经转化为一个实数的方程.解得|z| ＝2（舍去），?.
z2221.设复数z满足|z|<1且|z?2.在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2.则异面直线DM与AN所成角的余弦为( )
1111A????????B????????C????????D? 36812[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素.本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等.然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起.
z P P M D O N M C y B A D N Q C A x B 解法一：如图1，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2.如图建立坐标系，则A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，2)，则
?????312????112112132M(,?,),N(,,)，DM?(,?,),AN?(?,,).设所成的角为θ，则
222222222222?????????DM?AN1cos????????????.
DMAN6解法二：如图2，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2.平移DM与AN在一起.即M移到N，D移到CD的中点Q.于是QN ＝ DM ＝ AN.而PA ＝ PB ＝ AB ＝ 2，
所以QN ＝ AN ＝ 3，而AQ ＝ 5，容易算出等腰ΔAQN的顶角cos?ANQ?1. 6解法三：也可以平移AN与DM在一起.即A移到M，N移到PN的中点Q.以下略.
3.已知y?x3?x2?2x?1，过点(－1, 1)的直线l与该函数图象相切，且(－1, 1)不是切点，则直线l的斜率为 ( )
A?2??????B1???????C??1???????D??2
32解：显然(－1, 1)在y?x3?x2?2x?1的图象上.设切点为(x0,x0?x0?2x0?1)， 2y??3x2?2x?2，所以k?3x0?2x0?2.另一方面，
32(x0?x0?2x0?1)?12?x0(x0?2)?3x0k??2x0?2.所以x0＝1,所以k??1.选C.
x0?(?1)4.若A?B?2?，则cos2A?cos2B的最小值和最大值分别为 ( ) 3A1??33133312 ?,?????B?,??????C1??,1????????D?,1?2222222222[分析]首先尽可能化简结论中的表达式cosA?cosB，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个. 解：cosA?cosB?221?cos2A1?cos2B1??1?(cos2A?cos2B) 2221?1?cos(A?B)cos(A?B)?1?cos(A?B)，可见答案是B
2
[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱.我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O1 O2边O1 O2上一点C，O O1、O O2延长线上分别一点A、B，使得O1A ＝ O1C，O2B ＝ O2C.
解法一：连接O1O2，C在O1O2上，则?OOO12??OO2O1????，
11?O1AC??O1CA??OO1O2，?O2BC??O2CB??OO2O1，故
221????O1CA??O2CB?(?OO1O2??OO2O1)?，
22????(?O1CA??O2CB)????2，sin??cos?2.
解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则?OO1O2??OO2O1????2，
?O1CA??O2CB?sin??cos1???????OO1O2?，????(?O1CA??O2CB)?， 242?2.
6.已知异面直线a，b成60°角.A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面 ( )
A.有且只有一个 B.有且只有两个 C.有且只有三个 D.有且只有四个
[分析]已知平面过A，再知道它的方向，就可以确定该平面了.因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系.于是原题简化为：已知两条相交直线a，b成60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线.答案是4个.
???31?31??7.已知向量a?(0,1),b?(?,?),c?(,?),xa?yb?zc?(1,1)则x2?y2?z2 的最小
2222值为( )
43A1????????B????????C????????D?2
32?3?33?y?z?1?(y?z)?1??????2?22解：由xa?yb?zc?(1,1)得? ， ??x?y?z?1?x?y?z?1???22?2(y?z)2?(y?z)2由于x?y?z?x?，
222222?y?z???可以用换元法的思想，看成关于x，y + z，y－z三个变量，变形?3，代入
?y?z?2(x?1)?(y?z)2?(y?z)2x?y?z?x?
22222?x2?2(x?1)2?2824?3x2?4x??3(x?)2?，答案B 3333?8.AB为过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且?OFA?135，C为抛物线准线与x轴的交点，则?ACB的正切值为 ( )
A?22???????B?424222???????C????????D? 533解法一：焦点F（1，0），C（－1，0），AB方程y ＝ x – 1，与抛物线方程y2 ＝ 4x联立，解得
A????22???22)?，???B?????22???22)?，于是
kCA?k?kCB??222??222，tan?ACB?CA?22，答案A =，kCB?=-1?kk22??22??22CACB解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，∠BAD ＝ 45°，EF∥DA，
EF ＝ 2，AF ＝ AD，BF ＝ BC，求∠AEB.
G D A tan?AEF?tan?EAD?DEGF2.类似的，有 ??ADAF2E F tan?BEF?tan?EBC?22C B ?AEB??AEF??BEF?2?AEF，
tan?AEB?tan2?AEF?22，答案A
解：S?BDF?DFBDS?BDE?zS?BDE，S?BDE?S?ABE?(1?x)S?ABE， DEABS?ABE?AES?ABC?yS?ABC，于是S?BDF?(1?x)yzS?ABC?2(1?x)yz. ACx?1，2将y?z?x?1，变形为y?z?x?1，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须y?z?于是S?BDF?1116(1?x)(x?1)2，解这个一元函数的极值问题，x?时取极大值. 232710.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）
A. 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B. 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C. 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 D. 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形.如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的∠D一定是钝角.事实上，∠D ≥ ∠ADC，而四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC ＝ 180°－∠B，所以∠D为钝角.这样就排除了B，C.
A E A B D C F B D C
下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形. 假设ΔABC中∠B是钝角，在AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC) ΔACD，则∠D ＝ 180°－∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形.所以答案是D. 二、解答题
解：（I）tanC??tan(A?B)?tanA?tanB，整理得
tanAtanB?1tanAtanBtanC?tanA?tanB?tanC
（II）由已知3tanAtanC?tanA?tanB?tanC，与（I）比较知tanB?3，B=?3.又，
11224????sin2Asin2Csin2Bsin2?33，
sin2A?sin2C4?sin2Asin2C3sin(A?C)cos(A?C)13?，而sin(A?C)?sinB?，
cos2(A?C)?cos2(A?C)23cos2(A?C)?cos2B??21，代入得2cos2(A?C)?1?3cos(A?C)， 2? 4cos(A?C)?3cos(A?C)?1?0，cos(A?C)?1，1A?C6，cos?1， 42412.已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直
立放置）.质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处. （I）若b ＝ 3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 解：不妨设水杯高为1.
（I）这时，水杯质量 ：水的质量 ＝ 2 ：3.水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）
112??3?114?7 为，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为2242?320(II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上.设装x克水.这时，水杯质量 ：水的质
“华约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)
