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考研数学二真题及答案

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2015年考研数学二真题

一、选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。) (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫2(C)∫2

+∞1√??1????????+∞

???? (B)∫2

+∞??????

??+∞??

????

???? ????

???? (D) ∫2

【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫2

+∞1????=2√??|2

√??=

1????????

+∞

=+∞;

=(??????)|

21

2+∞2

+∞?????? ∫????2??

+∞

????????(??????)∫2+∞1

??????

=+∞;

∫2

+∞

????=∫2=

??(??????)=ln?(??????)|+∞=+∞; 2

=

????????|+2

+∞??

∫????2????+∞???

?∫??????2

+

+∞???

??∫2

????

∞?2

=2???2??????|+=3??, 2

因此(D)是收敛的。

综上所述,本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数??(??)=lim(1+

??→0

2

??????????

??

)??在(-∞,+∞)内

(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B

【解析】这是“1∞”型极限,直接有??(??)=lim(1+

??→0

??????????

)

??2?? =??

lim

??2????????(1+?1)

????→0??=e

??lim

????????

??→0??=????(??≠0),

??(??)在??=0处无定义,

且lim??(??)=lim????=1,所以 ??=0是??(??)的可去间断点,选B。

??→0

??→0

综上所述,本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 ??αcosβ,??>0,

??(3)设函数??(??)={(α>0,??>0).若??′(??)在??=0,??≤00处连续,则

(A)α?β>1 (B)0<α?β≤1 (C)α?β>2 (D)0

????α?1cosβ+β??α?β?1sinβ,??>0,

???? ??′(??)={

0,??≤0

′()再有 ??+0=lim+

x→0

??(??)???(0)

??

α?1

=lim??cos+

x→0

1??β1

1

1

=

0, α>1,

{ 不存在,α≤1,

′() ???0=0

于是,??′(0)存在?α>1,此时??′(0)=0. 当α>1时,lim??α?1cos

x→0

1??β

=0,

1??β

limβ??

x→0

α?β?1

sin

={

不存在,α?β?1≤0,

0, α?β?1>0,

因此,??′(??)在??=0连续?α?β>1。选A 综上所述,本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限

(4)设函数??(??)在(-∞,+∞)内连续,其 二阶导函数??′′(??)的图形如右图所示, 则曲线??=??(??)的拐点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C

【解析】??(??)在(-∞,+∞)内连续,除点??=0外处处二阶可导。 ??=??(??)的可疑拐点是??′′(??)=0的点及??′′(??)不存在的点。 ??′′(??)的零点有两个,如上图所示,A点两侧??′′(??)恒正,对应的点不是??=??(??)拐点,B点两侧??′′(??)异号,对应的点就是??=??(??)的拐点。

虽然f′′(0)不存在,但点x=0两侧f′′(x)异号,因而(0,f(0)) 是y=f(x)的拐点。

综上所述,本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点

(5)设函数??(μ,ν)满足??(??+??,)=??2???2,则|μ=1与|μ=1依次

???μ?ν

ν=1

ν=1

??

???

???

??′′(??) A O B ??

(A),0 (B)0,

2

2

1

1

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