2015年考研数学二真题
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫2(C)∫2
+∞1√??1????????+∞
???? (B)∫2
+∞??????
??+∞??
????
???? ????
???? (D) ∫2
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫2
+∞1????=2√??|2
√??=
1????????
+∞
=+∞；
=(??????)|
21
2+∞2
+∞?????? ∫????2??
+∞
????????(??????)∫2+∞1
??????
=+∞；
∫2
+∞
????=∫2=
??(??????)=ln?(??????)|+∞=+∞； 2
=
∞
????????|+2
+∞??
∫????2????+∞???
?∫??????2
+
+∞???
??∫2
????
∞?2
=2???2??????|+=3??， 2
因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数??(??)=lim(1+
??→0
2
??????????
??
)??在(-∞,+∞)内
(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B
【解析】这是“1∞”型极限，直接有??(??)=lim(1+
??→0
??????????
)
??2?? =??
lim
??2????????(1+?1)
????→0??=e
??lim
????????
??→0??=????(??≠0),
??(??)在??=0处无定义，
且lim??(??)=lim????=1,所以 ??=0是??(??)的可去间断点，选B。
??→0
??→0
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 ??αcosβ,??>0，
??(3)设函数??(??)={(α>0,??>0).若??′(??)在??=0,??≤00处连续，则
(A)α?β>1 (B)0<α?β≤1 (C)α?β>2 (D)0
????α?1cosβ+β??α?β?1sinβ,??>0，
???? ??′(??)={
0,??≤0
′()再有 ??+0=lim+
x→0
??(??)???(0)
??
α?1
=lim??cos+
x→0
1??β1
1
1
=
0, α>1,
{ 不存在，α≤1，
′() ???0=0
于是，??′(0)存在?α>1，此时??′(0)=0. 当α>1时，lim??α?1cos
x→0
1??β
=0，
1??β
limβ??
x→0
α?β?1
sin
={
不存在，α?β?1≤0，
0, α?β?1>0,
因此，??′(??)在??=0连续?α?β>1。选A 综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数??(??)在(-∞,+∞)内连续，其 二阶导函数??′′(??)的图形如右图所示， 则曲线??=??(??)的拐点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C
【解析】??(??)在(-∞,+∞)内连续，除点??=0外处处二阶可导。 ??=??(??)的可疑拐点是??′′(??)=0的点及??′′(??)不存在的点。 ??′′(??)的零点有两个，如上图所示，A点两侧??′′(??)恒正，对应的点不是??=??(??)拐点，B点两侧??′′(??)异号，对应的点就是??=??(??)的拐点。
虽然f′′(0)不存在，但点x=0两侧f′′(x)异号，因而(0,f(0)) 是y=f(x)的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点
(5)设函数??(μ,ν)满足??(??+??,)=??2???2，则|μ=1与|μ=1依次
???μ?ν
ν=1
ν=1
??
???
???
??′′(??) A O B ??
是
(A),0 (B)0,
2
2
1
1
考研数学二真题及答案
