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平面几何部分 教学目标：
1． 熟练掌握五大面积模型
2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
S①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底a之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1:S2?a:b
1S2bABCD③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACD?S△BCD； 反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，
则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)
DAADAS2S1OS3CDEES4BC
BB
C图⑴ 图⑵
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②
AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?
AS2aS1OS3S4DC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面Bb积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可
以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
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梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①S1:S3?a2:b2
②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?2． 四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
AEAFDDBABACFGBCAGEC
BGC
①AD?AE?DE?AF；
②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理
A在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．
E上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手F段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以O这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中BCD都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于
任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题
【例 1】 如图，正方形
ABCD的边长为6，AE?，CF?2．长方形EFGH的面
积为 ．
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_ HA __ E_ B_ D_ G_ CF_
_ HA __ E_ B_ D_ G_ CF_
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米
_ E_ A_ F_ GD_
_ C
【例 2】 长方形ABCD的面积为
_ E_ B_ F
_ A_ GD_
_ B_ C
36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边
上任意一点，问阴影部分面积是多少
AHDEGBFC
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对
边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．
ADA(P)DADPPBC
【例 3】 如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为
BC
BC
70，AB?8，
AD?15，四边形EFGO的面积为 ．
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六年级奥数平面几何部分
