数学模型
张峰华 材料学院 材料成型及控制工程04班 20123631 刘泽 材料学院 材料成型及控制工程04班 20123627 杨海鹏 材料学院 冶金工程03班 20123203
一、问题重述
影院座位的满意程度主要取决于视角?和仰角?，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角?不超过300；记影院的屏幕高为h，上边缘距离地面高为H,影院的地板线通常与水平线有一个倾角?，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为d,D，观众的平均座高为c（指眼睛到地面的距离），已知参数h=1.8. H=5，d?4.5,D?19，c=1.1(单位m)。
求解以下问题：
(1) 地板线的倾角??100时，求最佳座位的所在位置。
(2) 地板线的倾角?一般超过200，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
二、问题的分析
电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角?和仰角?，?越大越好，而?越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。
本文通过对水平视角?和仰角?取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。
针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab数学软件运算求解；
针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；
在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。
本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。
三、模型假设
1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度； 2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；
3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性； 4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘； 5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m； 6.对于同一排座位，观众的满意程度相同； 7.所有观众的座位等高为平均座高； 8.影院的的地板成阶梯状。
1
四、符号说明
? 水平视角
?
S? S?
视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离 观众对水平视角为?的满意程度 观众对仰角为?的满意程度 平均满意程度
? 仰角
? 地板线与水平线的倾角
d 第一排离屏幕水平距离
S
D 最后一排离屏幕水平距离 h 屏幕的高度
c?,c? 视角?、仰角?在综合满意度Si中的权重
l
相邻两排座位间沿地板线方向的间距
H 屏幕上边缘离地面的高度
五、模型的建立与求解
5.1 问题一
每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：水平视角?和仰角?，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过300。
5.1.1 模型Ⅰ的建立：仰角在满足条件的范围内,观众满意度只取决于视角
以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：
屏 h y 幕 B E 视觉线 H?h H?c?h?xtan? ? c? P S c 地板 O 地面 ? xtan?N x d
M x D?d
图1 影院座位设计的剖面图 其中，AB为屏幕，MS为地板线，OE为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图可设视觉线OE上任意一点P的坐标为(x,xtan?)，屏幕上下点的坐标分别为A(?d,H?c)，
2
B(?d,H?h?c)，AP的斜率记为kAP,BP的斜率记为kBP。
由斜率公式得：
kAP??tan??xtan??H?cxtan??H?h?c，kBP??tan(???)? (1.1)
x?(?d)x?(?d)则直线AP和BP的斜率与夹角?满足如下关系：
tan??kBP?kAPh(x?d)? (1.2) 21?kBPkAP(x?d)?(xtan??H?c)(xtan??H?h?c)仰角满足条件：??[0?,30?] 所以：0?tan??33?0??xtan??H?c?33
x?(?d)H?c?33d33?tan??x?H?c (1.3) tan?由公式(1.1) (1.2)得到模型为：
max??arctanh(x?d)
(x?d)2?(xtan??H?c)(xtan??H?h?c)?0?x?D?d?s.t.?H?c?33dH?c
?x??33?tan?tan??5.1.2 模型Ⅰ的求解
当??10?时，用Matlab软件运算求解（程序见附录1），得最大视角为??13.9522?，仰角为??30?，x?1.7274米。即P点的坐标为(1.7274,0.3046)为最佳位置。离屏幕的水平距离为4.5?1.7274?6.2274米。 5.1.3 模型Ⅱ的建立：离散加权模型
在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为l（查阅相关资料间距一般取0.8米），则在水平方向的间距为lcos?，考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。
对模型Ⅰ进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：
tan???xtan??H?c(k?1)lcos?tan??H?c?? (2.1)
x?(?d)(k?1)lcos??(?d)tan??h((k?1)lcos??d)
((k?1)lcos??d)2?((k?1)lcos?tan??H?c)((k?1)lcos?tan??H?h?c)(2.2)
14.5]?1?19。 lcos?一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。本文中观众对某个座位是否满意的
其中，k?1,2,3,?,n，n为地板线上的座位的总排数，且n?[ 3
看法就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据题意，在假设条件下，对于第k排座位，建立观众对视角?、仰角?的满意度函数[1]如下：
S?k?tan?k?tan?min (2.3)
tan?max?tan?minS?k?1?tan?k?tan?min (2.4)
tan?max?tan?min式中?k,?k为第k排座位上观众视角和仰角，?max,?max表示在?给定的情况下最优满意度，?min,?min表示在?给定的情况下最差满意度。
视角?、仰角?在综合满意度Sk中的权重分别为c?,c?，建立第k排座位综合满意度函数如下：
Sk?c?S?k?c?S?kc??c? (2.5)
根据地板线倾角??10?，通过计算可以得出5.4210????15.8975?，
4.0451????40.9149?，主观给定权重C??0.6,C??0.4，根据模型的建立，可以得出：
Sk?c?S?k?c?S?kc??c??0.6S?k?0.4S?k0.6?0.4?3.1596tan?k?0.5025tan?k?0.1357 (2.6)
将式(2.1)和式(2.2)带入公式(2.6)得到优化模型为：
3.1596*h((k?1)lcos??d)((k?1)lcos??d)2?((k?1)lcos?tan??H?c)((k?1)lcos?tan??H?h?c)(k?1)lcos?tan??H?c?0.5025?0.1357(k?1)lcos??(?d)maxSk??0?x?D?d?H?c?H?c?33d s.t.??x?,k?1,2,3,?,19
tan??33?tan??x?(k?1)lcos??5.1.4 模型Ⅱ的求解
用Matlab软件运算求解（程序见附录2）可得：x?2.3635米，k?4排，最大满意度为S4?0.6176,最大视角为??13.1282?，仰角为??26.9084?,最佳位置离屏幕的水平距离为4.5?2.3635?6.8635米。 5.2 问题二
5.2.1 模型Ⅲ的建立
要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求S的最大值。由模型Ⅱ可知，第knSkn，平均满意度S的大排观众的满意度为S,则观众平均满意程度函数为：S?k?1小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角?和视角?所决定。所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大；(2) 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。
由式(1.1)可知，地板线倾角?的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生
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数学建模综合题影院座位设计问题
