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数学建模综合题影院座位设计问题

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数学模型

张峰华 材料学院 材料成型及控制工程04班 20123631 刘泽 材料学院 材料成型及控制工程04班 20123627 杨海鹏 材料学院 冶金工程03班 20123203

一、问题重述

影院座位的满意程度主要取决于视角?和仰角?,视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角,越大越好;仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角,太大使人的头部过分上仰,引起不适,一般要求仰角?不超过300;记影院的屏幕高为h,上边缘距离地面高为H,影院的地板线通常与水平线有一个倾角?,第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为d,D,观众的平均座高为c(指眼睛到地面的距离),已知参数h=1.8. H=5,d?4.5,D?19,c=1.1(单位m)。

求解以下问题:

(1) 地板线的倾角??100时,求最佳座位的所在位置。

(2) 地板线的倾角?一般超过200,求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。

二、问题的分析

电影院座位的设计应满足什么要求,是一个非常现实的问题。根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角?和仰角?,?越大越好,而?越小越好,最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点,使观众对两者的综合满意程度达到最大。

本文通过对水平视角?和仰角?取权重,建立适当的坐标系,从而建立一个线形型满意度函数。

针对问题一,已知地板线倾角,求最佳座位所在,即将问题转化求综合满意度函数的最大值,建立离散加权的函数模型并利用Matlab数学软件运算求解;

针对问题二,将所有观众视为离散的点,要使所有观众的平均满意程度达到最大,即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数,将自变量转化为地板线倾角;

在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计,使观众的平均满意程度可以进一步提高。

本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的,为使模型简化,更好地说明问题,文中将作以下假设。

三、模型假设

1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度; 2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性;

3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性; 4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘; 5.相邻两排座位间的间距相等,取为0.8m; 6.对于同一排座位,观众的满意程度相同; 7.所有观众的座位等高为平均座高; 8.影院的的地板成阶梯状。

1

四、符号说明

? 水平视角

?

S? S?

视高差,即从眼睛到头顶的竖直距离 观众对水平视角为?的满意程度 观众对仰角为?的满意程度 平均满意程度

? 仰角

? 地板线与水平线的倾角

d 第一排离屏幕水平距离

S

D 最后一排离屏幕水平距离 h 屏幕的高度

c?,c? 视角?、仰角?在综合满意度Si中的权重

l

相邻两排座位间沿地板线方向的间距

H 屏幕上边缘离地面的高度

五、模型的建立与求解

5.1 问题一

每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置,而对座位的满意程度主要取决于两个因素:水平视角?和仰角?,且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角,越大越好,仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角,太大使人的头部过分上仰,引起不适,要求不超过300。

5.1.1 模型Ⅰ的建立:仰角在满足条件的范围内,观众满意度只取决于视角

以第一排观众的眼睛为原点,建立平面直角坐标系,如图1所示:

屏 h y 幕 B E 视觉线 H?h H?c?h?xtan? ? c? P S c 地板 O 地面 ? xtan?N x d

M x D?d

图1 影院座位设计的剖面图 其中,AB为屏幕,MS为地板线,OE为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图可设视觉线OE上任意一点P的坐标为(x,xtan?),屏幕上下点的坐标分别为A(?d,H?c),

2

B(?d,H?h?c),AP的斜率记为kAP,BP的斜率记为kBP。

由斜率公式得:

kAP??tan??xtan??H?cxtan??H?h?c,kBP??tan(???)? (1.1)

x?(?d)x?(?d)则直线AP和BP的斜率与夹角?满足如下关系:

tan??kBP?kAPh(x?d)? (1.2) 21?kBPkAP(x?d)?(xtan??H?c)(xtan??H?h?c)仰角满足条件:??[0?,30?] 所以:0?tan??33?0??xtan??H?c?33

x?(?d)H?c?33d33?tan??x?H?c (1.3) tan?由公式(1.1) (1.2)得到模型为:

max??arctanh(x?d)

(x?d)2?(xtan??H?c)(xtan??H?h?c)?0?x?D?d?s.t.?H?c?33dH?c

?x??33?tan?tan??5.1.2 模型Ⅰ的求解

当??10?时,用Matlab软件运算求解(程序见附录1),得最大视角为??13.9522?,仰角为??30?,x?1.7274米。即P点的坐标为(1.7274,0.3046)为最佳位置。离屏幕的水平距离为4.5?1.7274?6.2274米。 5.1.3 模型Ⅱ的建立:离散加权模型

在地板线上的座位可视为是离散的点,设两排座位在地板线方向上的前后间距为l(查阅相关资料间距一般取0.8米),则在水平方向的间距为lcos?,考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。

对模型Ⅰ进行修正,将座位连续情况进行离散化可以得到:

tan???xtan??H?c(k?1)lcos?tan??H?c?? (2.1)

x?(?d)(k?1)lcos??(?d)tan??h((k?1)lcos??d)

((k?1)lcos??d)2?((k?1)lcos?tan??H?c)((k?1)lcos?tan??H?h?c)(2.2)

14.5]?1?19。 lcos?一般说来,人们的心理变化是一个模糊的概念。本文中观众对某个座位是否满意的

其中,k?1,2,3,?,n,n为地板线上的座位的总排数,且n?[ 3

看法就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识,根据题意,在假设条件下,对于第k排座位,建立观众对视角?、仰角?的满意度函数[1]如下:

S?k?tan?k?tan?min (2.3)

tan?max?tan?minS?k?1?tan?k?tan?min (2.4)

tan?max?tan?min式中?k,?k为第k排座位上观众视角和仰角,?max,?max表示在?给定的情况下最优满意度,?min,?min表示在?给定的情况下最差满意度。

视角?、仰角?在综合满意度Sk中的权重分别为c?,c?,建立第k排座位综合满意度函数如下:

Sk?c?S?k?c?S?kc??c? (2.5)

根据地板线倾角??10?,通过计算可以得出5.4210????15.8975?,

4.0451????40.9149?,主观给定权重C??0.6,C??0.4,根据模型的建立,可以得出:

Sk?c?S?k?c?S?kc??c??0.6S?k?0.4S?k0.6?0.4?3.1596tan?k?0.5025tan?k?0.1357 (2.6)

将式(2.1)和式(2.2)带入公式(2.6)得到优化模型为:

3.1596*h((k?1)lcos??d)((k?1)lcos??d)2?((k?1)lcos?tan??H?c)((k?1)lcos?tan??H?h?c)(k?1)lcos?tan??H?c?0.5025?0.1357(k?1)lcos??(?d)maxSk??0?x?D?d?H?c?H?c?33d s.t.??x?,k?1,2,3,?,19

tan??33?tan??x?(k?1)lcos??5.1.4 模型Ⅱ的求解

用Matlab软件运算求解(程序见附录2)可得:x?2.3635米,k?4排,最大满意度为S4?0.6176,最大视角为??13.1282?,仰角为??26.9084?,最佳位置离屏幕的水平距离为4.5?2.3635?6.8635米。 5.2 问题二

5.2.1 模型Ⅲ的建立

要使所有观众的平均满意程度达到最大,即需求S的最大值。由模型Ⅱ可知,第knSkn,平均满意度S的大排观众的满意度为S,则观众平均满意程度函数为:S?k?1小由每一排的满意度所决定,而又是由仰角?和视角?所决定。所以,要使观众的满意程度达到最大,取决于两个方面:(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大,观众的平均满意程度就越大;(2) 所有座位的视角的均值越大,观众的平均满意程度就越大。

由式(1.1)可知,地板线倾角?的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生

? 4

数学建模综合题影院座位设计问题

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