一、函数与几何综合的压轴题
1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E点在y轴上；
(2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.
(3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于
E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
A
（2，-6）
图①
A （2，-6） 图②
B O E C（1，-3） C（1+k，-3）
D x B O E′ D x y y [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC ∴
EO?DO?EO?BO? ?,?ABDBCDDBEO?EO???1 ABDCDO?EO?EO?2??DB??3?1 ，∴DO??DBABAB6又∵DO′+BO′=DB ∴
∵AB=6，DC=3，∴EO′=2 又∵
∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上
方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2① 再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 ②
?x?0联立①②得?
y??2?∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上
（2）设抛物线的方程y=ax+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）
2
?4a?2b?c??6?E（0，-2）三点，得方程组?a?b?c??3
?c??2?解得a=-1,b=0,c=-2 ∴抛物线方程y=-x-2
（3）（本小题给出三种方法，供参考）
由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。
2
E?FE?F同（1）可得：??1 得：E′F=2
ABDCE?FDF1方法一：又∵E′F∥AB?，∴DF?DB ?ABDB31112S△AE′C= S△ADC- S△E′DC=DC?DB?DC?DF?DC?DB
22231=DC?DB=DB=3+k 3S=3+k为所求函数解析式
方法二：∵ BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA ∴S△AE′C= S△BDE′?11BD?E?F??3?k??2?3?k 22∴S=3+k为所求函数解析式.
证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2
同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC∶AB=1∶4 ∴S?AE?C?2
2
221S梯形ABCD???AB?CD??BD?3?k 992∴S=3+k为所求函数解析式.
2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与y轴交于A、D两点.
（1）求点A的坐标；
（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；
（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若
2
S1h?，抛物线 S24y＝ax＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式.
[解]（1）解：由已知AM＝2，OM＝1，
在Rt△AOM中，AO＝
AM2?OM2?1，
∴点A的坐标为A（0，1）
（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1 ∴y＝x＋1 令y＝0则x＝－1 ∴B（—1，0）， AB＝BO?AO?1?1?22222
在△ABM中，AB＝2，AM＝2，BM＝2
AB2?AM2?(2)2?(2)2?4?BM2
∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90° ∴直线AB是⊙M的切线
（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝22， ∴BC＝
AB2?AC2?(2)2?(22)2?10
y A M · D C ∵∠BAC＝90° ∴△ABC的外接圆的直径为BC，
BC21025
∴S1?()???()????222AC2222)???()???2?而S2?(22
5S1hh2???即 ?, ?h?5 S42?42 ，
B x 设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为： y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax－a，∴－a＝±5，∴a＝±5 ∴抛物线的解析式为y＝5x－5或y＝－5x＋5 解法二：（接上） 求得∴h＝5
由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物
2
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