空间中的垂直关系 专题训练
知识梳理
一、线线垂直：
如果两条直线 于一点或经过 后相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直. 二、线面垂直：
1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并 且和这个 平面内的_________________，则称这条直线和这个平 面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面 α互相垂直，记作l⊥α.
2.判定定理：如果一条直线与平面内的 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.
推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也 于这个平面.
推论②：如果两条直线 同一个平面，那么这两条直线平行. 3.点到平面的距离： 长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直：
1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面 ，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 ，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作 α⊥β.
2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于 直线垂直于
另一个平面.
四、求点面距离的常用方法：
1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形. 2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.
空间中的垂直关系 教师版1
题型一 线线垂直、线面垂直的判定及性质
例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE.
【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．
（Ⅰ ） 求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ ） 求证：AC∥平面B1DE．
【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD． ∵CE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CE⊥BD．
又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）
（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点， ∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC
又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，
∴ 平面ACF∥平面B1DE． 又∵ AC?平面ACF，∴AC∥面B1DE．
空间中的垂直关系 教师版2
【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，
点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1． （Ⅰ ）证明：EA⊥ PB； （Ⅱ ）证明：BG∥ 面AFC．
【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，
又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA． 而AB∩PA=A
所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．
（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC． 连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF， 所以BM∥OF，所以BM∥面AFC． 而BM∩MG=M
所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．
【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥
平面ABCD，AB=
，AA1=2．
（1）证明：AA1⊥ BD
（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1； （3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．
【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴ BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD?面ABCD，∴ A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O?面A1AC，AC?面A1AC， ∴ BD⊥面A1AC，AA1?面A1AC，∴ AA1⊥BD．
（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴ 四边形A1B1CD是平行四边形， ∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B?平面A1BD，A1D?平面A1BD，CD1?平面CD1B1，B1C?平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴ 平面A1BD∥平面CD1B1．
空间中的垂直关系 教师版3
（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高， 在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1， ∴ A1O=
，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD?A1O=?（
．
）?
2
=
∴ 三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为
【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥ 底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，
点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点． （1）求证：AE⊥平面BCC1B1 （2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积； （3）证明：B1E⊥AF．
【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点， ∴ AE⊥ BC．
在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1， ∴ BB1⊥ 平面ABC， ∵ AE?平面ABC，
∴ BB1⊥ AE，…．（2分） 又∵ BB1∩BC=B，…．（3分） BB1，BC?平面BB1C1C，
∴ AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）
（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴S△CFE=4×∴
=
=11．…（6分） ?AE=
=
…（7分） =
﹣AB=2
，… ﹣
（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E?平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F=EF=
=
2
2
2
=5，B1E==2，
，∵ B1F=B1E+EF，∴ B1E⊥EF…．（9分）
空间中的垂直关系 教师版4
又∵ AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF?平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分） ∵ AF?平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）
【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥ 平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，
E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB （1）求证：PC⊥ BC； （2）求三棱锥C﹣DEG的体积；
（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否
则，说明理由．
【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．
又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC?平面PCD，∴ PC⊥BC．（2）∵ BC⊥平面PCD， ∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高． ∵ E是PC的中点， ∴ S△EDC=S△PDC=
﹣DEC
=×（×2×2）=1．VC﹣DEG=VG
=GC?S△DEC=××1=．
（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．
证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO?平面MEG，PA?平面MEG， ∴PA∥平面MEG．
在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．
∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
空间中的垂直关系 教师版5
空间中的垂直关系（带答案）
