中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
aba?b的值为（ ）． ?20， ?10，则
bcb?c1101121210（A） （B） （C） （D）
21211111a?1a?bb20?1210解：D 由题设得． ???c1b?c1?111?b10122．若实数a，b满足a?ab?b?2?0，则a的取值范围是 （ ）．
2（A）a≤?2 （B）a≥4 （C）a≤?2或 a≥4 （D）?2≤a≤4
1．若解．C
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b?ab?221a?2?0 2的判别式 ?＝(?a)?4?1?(a?2)≥0,解得a≤?2或 a≥4．
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=23，BC=4?22，CD＝42，则AD边的长为（ ）． （A）26
（B）46 （D）2?26
（第3题） 12（C）4?6 解：D
如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
BE=AE=6，CF＝22，DF＝26，
（第3题） 于是 EF＝4＋6．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得
222AD?(4?6)?(6)?(2?24)＝2?26．
4．在一列数x1，x2，x3，……中，已知x1?1，且当k≥2时，xk?xk?1?1?4??k?1???k?2??
??4??4????????（取整符号?a?表示不超过实数a的最大整数，例如?2.6??2，?0.2??0），则x2010等于（ ）．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B
由x1?1和xk?xk?1?1?4????k?1??k?2??可得 ???????4??4??x1?1，x2?2，x3?3，x4?4，
x5?1，x6?2，x7?3，x8?4，
……
因为2010=4×502+2，所以x2010=2．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）． （A）（2010，2） （B）（2010，?2） （C）（2012，?2） （D）（0，2）
解：B由已知可以得到，点P1，P2的坐标分别为（2，0），（2，?2）．
（ b2)，其中a2?2,b2??2． 记P2a2，根据对称关系，依次可以求得：
（第5题） P3(?4?a2，－2－b2)，P4(2?a2，4?b2)，P5(?a2，?2?b2)，P6(4?a2，b2)．
令P6(a6,b2)，同样可以求得，点P，即P， 10的坐标为（4?a6,b2）10（4?2?a2,b2）由于2010=4?502+2，所以点P2010的坐标为（2010，?2）． 二、填空题
6．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ． 解：0
由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿
车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ． 解：15
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a，b，c （千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
10?a?b??S， ①
15?a?c??2S， ② x?b?c??S． ③
由①②，得30． （b?c）?S，所以，x=30． 故 t?30?10?5?15（分）
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．
解：y??（第8题
（第8题） 111x+ 33如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以， 过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是，直线MN即为所求的直线l．
?2k+b?3，设直线l的函数表达式为y?kx?b，则?
5k?b?2，?1?k??，?111?3解得 ?,故所求直线l的函数表达式为y??x+．
33?b?11.?3?9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则
AE? ． AD解：
5?1 2见题图，设FC?m,AF?n．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 AB?AF?AC． 又因为 FC＝DC＝AB，所以 m?n(n?m)，即 (22（第9题）
n2n， )??1?0mm解得
n5?1n?5?1?，或?（舍去）． m2m2又Rt△AFE∽Rt△CFB，所以
AEAEAFn????ADBCFCm5?15?1AE， 即=． 22AD10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若n的最小值n0满足2000?n0?3000，则正整数k的最小值为 ．
解：9 因为n?1为2，， 3 ，k的倍数，所以n的最小值n0满足
n0?1??2，， 3 ，k?，
其中?2，， 3 ，k的最小公倍数． 3 ，k?表示2，，由于?2，， 3 ， 8??840， 3 ， 9??2520， ?2，， 3 ?2，，， 10??2520， 3 ， 11??27720， ?2，，因此满足2000?n0?3000的正整数k的最小值为9． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： ．tan?PAD?
EF BC（第11题） 证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以 ED⊥BC， FD⊥BC，
因此D，E，F三点共线. …………（5分） 连接AE，AF，则
?AEF??ABC??ACB??AFD，
所以，△ABC∽△AEF. …………（10分）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
（第11题） EFAH， ?BCAPEFPD从而 ， ?BCAPPDEF所以 tan?PAD?. …………（20分） ?APBCk212．如图，抛物线y?ax?bx（a?0）与双曲线y?相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B
x
在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求 所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
k
上， x4所以k=4. 故双曲线的函数表达式为y?.
x4设点B（t，），t?0，AB所在直线的函数表达式为y?mx?n，则有
t解：（1）因为点A（1，4）在双曲线y?
（第12题） ?4?m?n，44(t?1)? 解得，. m??n??4tt?mt?n，??t于是，直线AB与y轴的交点坐标为?0,??4(t?1)??，故 t?1（4t?1）S?AOB???1?t??3，整理得2t2?3t?2?0，
2t1解得t??2，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（?2，
2因为点A，B都在抛物线y?ax?bx（a?0）上，
2． ?2）
所以 ??a?b?4，?a?1，
解得? …（10分）
?4a?2b??2，?b?3.
2019年全国初中数学竞赛试题及答案
