比较二次根式大小的巧妙方法
一、移动因式法
将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。 例1：比较解：
的大小。
＞
∴
＞
二、运用平方法
两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。
例2：比较解：∵ ∴
＜＞0，
与，
＞0 的大小。
三、分母有理化法
此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。
例3：比较与的大小。
解：
∴＞
四、分子有理化法
此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。
例4：比较与的大小
解：∵
＞
∴＞
五、求差或求商法 求差法的基本思路是：设 ＜0时，＜；当大小。
求商法的基本思路是：设
为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当时，
；当
＞0时，＞”来比较与的
同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。②异号：正数大
于负数” 来比较与的大小。
例5：比较的大小。
解：∵
＜ ∴
例6：比较
的大小。
＜
解：∵
∴
＞
＞1
六、求倒数法
先求两数的倒数，而后再进行比较。 例7：比较
的大小。
解：∵
＞
∴
＜
七、设特定值法
如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。
例9：比较解：设
，则： ＝1，
∵
＜1，∴
＞
＝
与
的大小。
九、局部缩放法
如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。 例10：比较解：设
∵
∴＜，即
，，7＜
的大小。
＜8，即7＜＜8 ，8＜＜
＜9，即8＜＜9
例11：比较与的大小。
解：∵＞
∴
十、“结论”推理
＞
通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞
＞（
＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。
的大小。 ，
＞＞
＞＞＞
，即1＞
（＞
＞0）可知：
例12：比较1与解：∵ 由
即又∵∴
总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。
附：“
＞
（＞
＞0）”的证明。
证明：∵，，
∴
＞
＞
（＞＞0）
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二次根式大小比较方法
