第19讲 点、直线和圆的位置关系及其计算
二、考点分析
【考点1 切线的性质与判定】
【解题技巧】1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．
2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．
3.由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
【例1】（2019 浙江杭州中考）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【一领三通1-1】（2019 重庆中考）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点
D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
【一领三通1-2】（2019上海中考）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ） A．11
B．10
C．9
D．8
【一领三通1-3】（2019 南京中考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝ ．
1
【一领三通1-4】（2019浙江温州中考）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于 度．
）
【考点2 三角形内切圆】
【解题技巧】1.任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
2.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
3.直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a，b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则(1)直角三角ca＋b－c
形的外接圆半径R＝；(2)直角三角形的内切圆半径r＝. 22
【例2】（2019 云南中考）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（ ）
A．4
B．6.25
C．7.5
D．9
【一领三通2-1】（2019?台湾）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（ ）
2
A． B． C． D．
【一领三通2-2】（2019?山东济南模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【一领三通2-3】（2019?青海）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，
c为三角形三边，S为面积，则S＝
这是中国古代数学的瑰宝之一．
①
而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p＝一半），则S＝
②
（周长的
（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①?②或者②?①）；
（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝
，
S为三角形面积，则S＝pr．
【一领三通2-4】（2019 山西中考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德?欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和
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第19讲 点、直线和圆的位置关系及其计算(跟踪训练一领三通)
